51NOD 1222 最小公倍数计数 [莫比乌斯反演杜教筛]

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51NOD 1222 最小公倍数计数 [莫比乌斯反演杜教筛]

1222 最小公倍数计数题意:求有多少数对$(a,b):a<b$满足$lcm(a,b) \in [1, n]$ $n \le 10^{11}$ 卡内存! 枚举$gcd, \frac{a}{gcd}, \frac{b}{gcd}$,然后$\mu$代入,就是 \[ \sum_{d=1}^{\sqrt{n}}\mu(d) \sum_i \sum_j \sum_k [ijk \le \frac{n}{d^2}] \] 问题就是怎么求后面的式子了一开始我是 \[ f(n) = \s…

[51nod1227]平均最小公倍数（莫比乌斯反演+杜教筛）

题意求 $\sum_{i=a}^b \sum_{j=1}^i \frac{lcm(i,j)}{i}$. 分析只需要求出前缀和, $$\begin{aligned}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i \frac{lcm(i,j)}{i} &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i \frac{j}{gcd(i,j)} \\&= \sum_{d=1}^n \sum _{i=1}^n \sum_{j=1}^i \frac{j}{d} \cdot [gcd(i,j…

[复习]莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛

[复习]莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛莫比乌斯反演做题的时候的常用形式: \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{n|d}f(d)\\f(n)&=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})g(d)\end{aligned}\] 实际上还有 \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{d|n}f(d)\\f(n)&=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})g(d)\end{aligned}\] 证明可以看看这里,…

【bzoj3930】[CQOI2015]选数莫比乌斯反演+杜教筛

题目描述我们知道,从区间[L,H](L和H为整数)中选取N个整数,总共有(H-L+1)^N种方案.小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律,他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数,以便进一步研究.然而他很快发现工作量太大了,于是向你寻求帮助.你的任务很简单,小z会告诉你一个整数K,你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个.由于方案数较大,你只需要输出其除以1000000007的余数即可. 输入输入一行,包含4个空格分开的正整数,依次为N,K,L和H. 输出输出一个整数,为…

[BZOJ 3930] [CQOI 2015]选数(莫比乌斯反演+杜教筛)

[BZOJ 3930] [CQOI 2015]选数(莫比乌斯反演+杜教筛) 题面我们知道,从区间$[L,R]$(L和R为整数)中选取N个整数,总共有$(R-L+1)^N$种方案.求最大公约数刚好为K的选取方案有多少个.由于方案数较大,你只需要输出其除以1000000007的余数即可. \[N,K,L,H \leq 10^9,H-L \leq 10^5\] 分析 $\because \gcd(ka,kb)=k\gcd(a,b)$,我们先把$L,R$除以$K$,然后问题就变成了…

51nod 1237 最大公约数之和 V3【欧拉函数||莫比乌斯反演+杜教筛】

用mu写lcm那道卡常卡成狗(然而最后也没卡过去,于是写一下gcd冷静一下首先推一下式子 \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}gcd(i,j) \] \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{d=1}^{n}[gcd(i,j)==d]d \] \[ \sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)==d] \] \[ \sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\left…

51Nod.1237.最大公约数之和 V3(莫比乌斯反演杜教筛欧拉函数)

题目链接 $Description$ $n\leq 10^{10}$,求 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(i,j)\ mod\ (1e9+7)\] $Solution$ 首先 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(i,j)=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[gcd(i,j)=d]\] 注意不是\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(i,j)=\sum_{d=1}^n\sum…