gcd套路变换 GCD https://www.luogu.org/problem/P2568 给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对. $ 1<=N<=10^7$ 答案是n*n矩阵中每两个数之间gcd==1的数对个数 考虑把\(n\times n\)的矩阵分成两部分,即从对角线劈开,设每一部分的答案为ans,则最终答案为$ ans*2 - 对角线上的(即n以内的质数个数)$ 这个把矩阵分成两部分的方法很有用,记一下吧 \[ ans = \…

已知正整数a0,a1,b0,b1,设某未知正整数x满足: 1． x 和 a0 的最大公约数是 a1​: 2． x 和 b0​ 的最小公倍数是b1. Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x.但稍加思索之后,他发现这样的x 并不唯一,甚至可能不存在.因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x 的个数.请你帮助他编程求解这个问题. 输入输出格式 输入格式: 第一行为一个正整数 n,表示有 n 组输入数据.接下来的 n 行每行一组输入数据,为四个正整数 a0,a1,b0,b1​,每两个整数…

题意 有一张 \(n\times m\) 的数表,其第\(i\)行第\(j\)列的数值为能同时整除\(i\)和\(j\)的所有自然数之和. \(T\)组数据,询问对于给定的 \(n,m,a\) , 计算数表中\(\leq a\) 的数之和. \(T \leq 2\times 10^4,1 \leq n,m\leq 10^5\). 题解 令\(\sigma(x)\)表示\(x\)的约数和,容易写出答案的式子: \[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m\sigma(\gcd(i,j))…

传送门 因为区间 gcd 的变换不会超过 log 个,所以我们可以暴力枚举区间起点,复杂度是 n*logn 的 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i) #define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i) ,mod=; template <typename T> bool check_Max(T &x,…

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Fast-Fourier-Transform.html 多项式 之 快速傅里叶变换(FFT)/数论变换(NTT)/例题与常用套路[入门] 前置技能 对复数以及复平面有一定的了解 对数论要求了解:逆元,原根,中国剩余定理 对分治有充足的认识 对多项式有一定的认识,并会写 $O(n^2)$ 的高精度乘法 本文概要 多项式定义及基本卷积形式 $Karatsuba$ 乘法 多项式的系数表示与点值表示,以及拉格朗日插值法…

t<=10000组询问:有多少x,y,满足$x\epsilon [1,n],y\epsilon [1,m],(x,y)为质数$.n,m<=1e7. 首先式子列出来,f(i)--1<=x<=n,1<=y<=m中有多少(x,y)=i,g(i)--1<=x<=n,1<=y<=m中有多少i|(x,y),$g(i)=\sum_{i|d} f(d) ------> f(i)=\sum_{i|d} \mu(\frac{d}{i})g(d)$,而$g(i)…

[BZOJ2820]YY的GCD Description 神犇YY虐完数论后给傻×kAc出了一题 给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对 kAc这种傻×必然不会了,于是向你来请教-- 多组输入 Input 第一行一个整数T 表述数据组数 接下来T行,每行两个正整数,表示N, M Output T行,每行一个整数表示第i组数据的结果 Sample Input 2 10 10 100 100 Sample Output 30 2…

目录 信号, 集合, 多项式, 以及卷积性变换 卷积 卷积性变换 傅里叶变换与信号 引入: 信号分析 变换的基础: 复数 傅里叶变换 离散傅里叶变换 FFT 与多项式 \(n\) 次单位复根 消去引理, 折半引理与求和引理 重新定义 多项式的表示 快速傅里叶变换FFT 通过 FFT 在单位复数根处插值 FFT的速度优化与迭代实现 炸精现场与 NTT 原根 NTT 任意模数 NTT 卷积状物体与分治 FFT FWT 与位运算卷积 FWT 与 \(\text{or}\) 卷积 FWT 与 \(\te…

前言 在上篇文章中,详细分析了RACSignal是创建和订阅的详细过程.看到底层源码实现后,就能发现,ReactiveCocoa这个FRP的库,实现响应式(RP)是用Block闭包来实现的,而并不是用KVC / KVO实现的. 在ReactiveCocoa整个库中,RACSignal占据着比较重要的位置,而RACSignal的变换操作更是整个RACStream流操作核心之一.在上篇文章中也详细分析了bind操作的实现.RACsignal很多变换操作都是基于bind操作来实现的.在开始本篇底层实现…

整理题目转化为数学语言 题目要我们求: \[\sum_{i=1}^n\sum_{i=1}^m[gcd(i,j)=p]\] 其中 \[p\in\text{质数集合}\] 这样表示显然不是很好,所以我们需要更加数学一点: \[\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=k]\ \ \ \ \ (k\in\text{素数集合})\] 按照套路我们转化为: \[\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\r…