设\(S\)是一个集合,\(\max(S)\)和\(\min(S)\)分别表示集合中的最大值与最小值. 那么有如下式子成立: \[\max(S)=\sum_{T \subseteq S}(-1)^{|T|+1}\min(T)\] \[\min(S)=\sum_{T \subseteq S}(-1)^{|T|+1}\max(T)\] 因为证明很简单就写一下吧,以第一个式子为例,设\(\max(S)=x\),那么只有\(T=\{x\}\)时的\(\min(T)\)为\(x\)(可能有多个相同的最大值…

Card Collector Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 5254    Accepted Submission(s): 2676Special Judge Problem Description In your childhood, do you crazy for collecting the beautiful…

GCD Time Limit: 6000/3000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 4141    Accepted Submission(s): 1441 Problem Description Given 5 integers: a, b, c, d, k, you're to find x in a...b, y in c...d that GCD(x, y)…

2005: [Noi2010]能量采集 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 552 MBSubmit: 4493  Solved: 2695[Submit][Status][Discuss] Description 栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量.在这些植物采集能量后, 栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起. 栋栋的植物种得非常整齐,一共有n列,每列 有m棵,植物的横竖间距都一样,因此对于每一棵植…

2301: [HAOI2011]Problem b Time Limit: 50 Sec  Memory Limit: 256 MB Submit: 7732  Solved: 3750 [Submit][Status][Discuss] Description 对于给出的n个询问,每次求有多少个数对(x,y),满足a≤x≤b,c≤y≤d,且gcd(x,y) = k,gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数. 100%的数据满足:1≤n≤50000,1≤a≤b≤50000,1≤c≤d≤50000…

名字虽然很长.但是其实很简单,对于这一类问题基本上就是看你能不能把统计的公式搞出来(这时候需要一个会推公式的队友) 来源于某次cf的一道题,盼望上紫的我让潘学姐帮我代打一道题,她看了看跟我说了题解,用反演写的,然后……还是错了23333.赛后题解给出的是用容斥原理解决问题,但是我并看不懂学姐的公式,也还不懂莫比乌斯反演的第二种形式.直到最近刚看,才恍然大悟. 这类问题的特点是,给一个集合,问所有子集的w(gcd(某个子集))的和问题(w表示某个函数,一般是跟子集长度有关). 可以做出两个函数.…

刚开始看题,想了一会想到了一种容斥的做法.复杂度O( n(3/2) )但是因为题目上说有3000组测试数据,然后吓尿.完全不敢写. 然后想别的方法. 唉,最近精神有点问题,昨天从打完bc开始想到1点多,没想到什么好的方法,然后躺床上睡不着,迷迷糊糊又好像挺清醒的,大概想到了用莫比乌斯反演的一种解法,初略的证明了一下发现应该是对的,然后才逐渐有困意,大概也快天亮了... 这种事发生了好几次了.上次在证明莫比乌斯反演的时候也是想到快5点才想出来. 感觉整个人都不好了.. 题目: 求在区间[1,b]和…

GCD Expectation Time Limit: 4 Seconds     Memory Limit: 262144 KB Edward has a set of n integers {a1,a2,...,an}. He randomly picks a nonempty subset {x1,x2,-,xm} (each nonempty subset has equal probability to be picked), and would like to know the ex…

传送门 为了方便我们设\(N\)是\(N,M,L\)中的最小值,某一个位置\((x,y,z)\)所控制的位置为集合\(\{(a,b,c) \mid a = x \text{或} b = y \text{或} c = z\}\) 发现恰好\(k\)个位置不大好算,考虑容斥计算强制\(k\)个位置是极大值的概率 对于极大值所在位置的数\(a_1,a_2,...,a_k\),假设\(a_1 > a_2 > ... > a_k\),那么我们还需要满足\(a_1 \geq a_1\)所在位置控制的…

[CF900D]Unusual Sequences 题意:定义正整数序列$a_1,a_2...a_n$是合法的,当且仅当$gcd(a_1,a_2...a_n)=x$且$a_1+a_2+...+a_n=y$.给定x,y,求合法的序列总数. x,y<=10^9. 题解:不难想到容斥,先不管gcd的限制,那么总方案数就是$2^{y-1}$.你可以理解为有y个1,除了第一个1,其余的要么加到上一个数中去,要么自己变成一个新数. 如果考虑gcd的限制呢?容斥一发即可.并且容斥系数就是我们常用的莫比乌斯函数…