MT【208】埃尔米特恒等式

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MT【208】埃尔米特恒等式

设$S=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}[\dfrac{116+3^{k-1}}{3^k}]\\T=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}[\dfrac{116+2*3^{k-1}}{3^k}]\\$则S+T=_____ 提示:由埃尔米特恒等式:$[x]+[x+\dfrac{1}{n}]+\cdots+[x+\dfrac{n-1}{n}]=[nx]$故$\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\left([\dfrac{116}{3^k}+\d…

MT【104】高斯函数找周期

分析:$t(n)=n-[\frac{n}{2}]-[\frac{n}{3}]-[\frac{n}{6}]$的周期为6,故 $\sum\limits_{n=1}^{2014}(n-t(n))=\sum\limits_{n=1}^{2014}n-2014=2027091$ 评:在证明著名的埃尔米特恒等式:$\sum\limits_{k=0}^{n-1}[x+\frac{k}{n}]=[nx],x\ge0 ,n\in N^+$时也是用了同样的技巧.提示:构造$t(n)=\sum\limits_{k=0…

MT【35】用复数得到的两组恒等式

特别的,当$r\rightarrow1^{-}$时有以下两个恒等式: 第二个恒等式有关的自主招生试题参考博文MT[31]傅里叶级数为背景的三角求和评:利用两种展开形式得到一些恒等式是复数里经常出现的考点.…

MT【221】几个常用的多元恒等式

1.$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{a_ib_j}=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{a_jb_i}=\left(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\right)\left(\sum\limits_{i=1}^{n}b_i\right)$2.$\sum\limits_{i=1}^{n}a^2_i+2\sum\limits_{1\le i<j\le n}a_ia_j=\left…

MT【188】一个正切余切有关的恒等式

(2017北大特优)求$9\tan 10^\circ+2\tan 20^\circ+4\tan 40^\circ-\tan 80^\circ=$_____ A．$0$ B.$\dfrac{\sqrt 3}3$ C．$1$ D．$\sqrt 3$ 提示:$\cot x-\tan x=2\cot(2x)$得答案0…

MT【101】分配问题举例若干

先拿MT[100]的图表镇楼. 举几个例子: [1]52张纸牌分发给4人,每人13张,问每人手中有一张小2的概率? 分析:第一步每人分一张小2,有4!种,然后48张牌平均分成4组有$\frac{48!}{12!12!12!12!}$易得概率为$4!\frac{48!(13!)^4}{52!(12!)^4}$大概为10.55%,有兴趣也可以算一下四张2都在某个人手里的概率. [2]$(x+y+z+w)^5$的展开式有多少项? 分析:每一项都是5次方,相当于5个无区别的小球放入4个有标志的盒子里.每…

埃尔米特插值问题——用Python进行数值计算

当插值的要求涉及到对插值函数导数的要求时,普通插值问题就变为埃尔米特插值问题.拉格朗日插值和牛顿插值的要求较低,只需要插值函数的函数值在插值点与被插函数的值相等,以此来使得在其它非插值节点插值函数的值能接近被插函数.但是有时候要求会更高,不仅要插值函数与被插函数在插值节点函数值相等,而且要求它们的导数相等. 其实此时的情况并没有变得复杂,解决这个问题的思路与拉格朗日插值法的思路是相同的,不同点在于插值条件的约束函数增加了导数一项,原来由于0~n插值节点有n+1个插值节点,需要求出n+1个线性方程…