Code: #include<bits/stdc++.h> #define ll long long #define M 10001000 #define maxn 10200100 #define MOD 100000009 using namespace std; int cnt, tot; int vis[maxn],mu[maxn], prime[maxn]; ll h[maxn], sumv[maxn]; void init() { int i,j; h[1]=1; for(i=2;…

求 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)\mu(gcd(i,j))^2$   $\Rightarrow \sum_{d=1}^{n}\mu(d)^2\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\frac{ij}{d}[gcd(i,j)==d]$   $\Rightarrow \sum_{d=1}^{n}\mu(d)^2\frac{1}{d}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}ij[gcd(i,j)==d]$   $\Right…

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4464 简记$gcd(x,y)=(x,y)$. 推式子: $\sum_{i=1}^{n}{(i,n)^xlcm(i,n)^y}$ $=\sum_{i=1}^{n}{(i,n)^{x-y}(in)^y}$ $=n^y\sum_{d|n}d^{x-y}\sum_{i}i^y[(i,n)=d]$ $=n^y\sum_{d|n}{d^{x-y}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}{(id)^y[(i,\frac{…

推导: 设d=gcd(i,j) 利用莫比乌斯函数的性质 令sum(x,y)=(x*(x+1)/2)*(y*(y+1)/2) 令T=d*t 设f(T)= T可以分块.又由于μ是积性函数,积性函数的约束和仍是积性函数,所以f也是积性函数,可以O(n)线性筛求得.总时间复杂度为 具体筛法看代码. 代码: #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; #define mod…

最近重新系统地学了下这几个知识点,以前没发现他们的联系,这次总结一下. 莫比乌斯反演入门:https://blog.csdn.net/litble/article/details/72804050 线性筛筛常见积性函数及其代码:https://blog.masterliu.net/algorithm/sieve/ 积性函数与线性筛(包括普通线性函数):https://blog.csdn.net/weixin_42562050/article/details/87997582 bzoj2154/b…

LINK:简单题 以前写过弱化版的 不过那个实现过于垃圾 少预处理了一个东西. 这里写一个实现比较精细了. 最后可推出式子:\(\sum_{T=1}^nsum(\frac{n}{T})\sum_{x|T}(\frac{T}{x})^kx^k\mu(\frac{T}{x})^2\mu(x)\) 其中 \(sum(x)=\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{x}(i+j)^k\) 先看前面的那项 由于是完全积性函数先筛出\(i^k\)复杂度可近乎是O(n)的. 考虑上面的式子怎么求?再…

下文中所有讨论都在数论函数范围内开展. 数论函数指的是定义域为正整数域, 且值域为复数域的函数. 数论意义下的和式处理技巧 因子 \[ \sum_{d | n} a_d = \sum_{d | n} a_{\frac n d} \] 双重因子 \[ \sum_{k | n} \sum_{j | k} a_{k, j} = \sum_{k | n} \sum_{j | \frac n k} a_{jk, k} \] \[ \sum_{n | k} \sum_{k | j} a_{k, j} = \…

只会搬运YL巨巨的博客 积性函数 定义 积性函数:对于任意互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数. 完全积性函数:对于任意整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数 性质 两个积性函数的狄利克雷卷积仍为积性函数. 若积性函数满足 \(f(n^p)=f^p(n)\)则它一定是完全积性函数.因为一个数可以唯一分解,则它一定可以表示成质数相乘的形式:因为他时积性函数所以,\(f(\prod_{i=1}^{n}p_i)=\prod _{i=1}^{n}f(p_i)\),…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4407 推导如这里:https://www.cnblogs.com/clrs97/p/5191506.html 然后发现 \( F(D) \) 是一个积性函数,可以筛质数的同时筛出来: 首先,单个质数 \( p \) 时只有 \( d=1 \) 和 \( d=p \) 两个因数,所以 \( F[p] = p^{k} - 1 \) 然后如果筛到互质的数,直接把 \( F() \) 相乘即可:…

2693: jzptab Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 444  Solved: 174[Submit][Status][Discuss] Description   Input 一个正整数T表示数据组数 接下来T行 每行两个正整数 表示N.M Output T行 每行一个整数 表示第i组数据的结果 Sample Input 1 4 5 Sample Output 122 HINT T <= 10000 N, M<=100000…