【学习笔记】扩展卢卡斯定理 exLucas

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【学习笔记】扩展卢卡斯定理 exLucas

引子求 \[C_n^m\ \text{mod}\ p \] 不保证 $p$ 是质数. 正文对于传统的 Lucas 定理,必须要求 $p$ 是质数才行.若 $p$ 不一定是质数,则需要扩展 Lucas 定理前置知识扩展欧几里得和中国剩余定理. 算法内容将 $p$ 用唯一分解定理分解,即 \[p=\prod p_i^{c_i} \] 若求出了 \[{n\choose m}\ \text{mod}\ p_i^{c_i} \] 就可以用中国剩余定理合并答案了.那么此时我们要求的…

[学习笔记]扩展LUCAS定理

可以先做这个题[SDOI2010]古代猪文此算法和LUCAS定理没有半毛钱关系. [模板]扩展卢卡斯不保证P是质数. $C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$ 麻烦的是分母. 如果互质就有逆元了. 所以可以考虑把分子分母不互质的数单独提出来处理. 然鹅P太一般,直接处理要考虑的东西太多. 我们不妨令$p=p_1^{q_1}*p_2^{q_2}*...*p_k^{q_k}$ 对每一个$p_i^{q_i}$分别求解(不妨叫这个数为$pk$)(这样会容易很多) 即求ai满足:$\fr…

扩展卢卡斯定理(Exlucas)

题目链接戳我前置知识中国剩余定理(crt)或扩展中国剩余定理(excrt) 乘法逆元组合数的基本运用扩展欧几里得(exgcd) 说实话Lucas真的和这个没有什么太大的关系,但是Lucas还是要学学的:戳我正文题目是要求: \[c_n^m mod \ p\] 如果这个p是质数的话那太简单了,直接Lucas就好了,但问题是现在p不一定是一个质数. 我们令 $P=\prod {p_i}^{c_i}$ 我们如果知道每个$c_n^m mod \ p_i^{c_i}$的值的话就可以根…

【知识总结】扩展卢卡斯定理（exLucas）

扩展卢卡斯定理用于求如下式子(其中$p$不一定是质数): \[C_n^m\ mod\ p\] 我们将这个问题由总体到局部地分为三个层次解决. 层次一:原问题首先对$p$进行质因数分解: \[p=\prod_i p_i^{k_i} \] 显然$p_i^{k_i}$是两两互质的,所以如果分别求出$C_n^m\ mod\ p_i^{k_i}$,就可以构造出若干个形如$C_n^m=a_i\ mod\ p_i^{k_i}$的方程,然后用中国剩余定理即可求解. 层次二:组合数模质数幂…

bzoj2142 礼物——扩展卢卡斯定理

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2142 前几天学了扩展卢卡斯定理,今天来磕模板! 这道题式子挺好推的(连我都自己推出来了) ,总之就是在 n 个里取 w[1] 个,剩下的里面再取 w[2] 个,再在剩下的里面取... 这里的模数 P 一看就不是质数啊!大组合数对合数取模,就要用到扩展卢卡斯定理了: 关于扩展卢卡斯定理,可以看这篇博客:https://blog.csdn.net/clove_unique/article/de…

[笔记] 扩展Lucas定理

[笔记] 扩展$Lucas$定理 $Lucas$定理:$\binom{n}{m} \equiv \binom{n/P}{m/P} \binom{n \% P}{m \% P}\pmod{P}$$(P\ is \ prime)$ Theory 那么如果$p$不是一个质数怎么办? 当我们需要计算$C_n^m\mod p$,其中$p = p_1^{q_1}\times p_2^{q_2}\times ...\times p_k^{q_k}$,我们可以求出:\(C_n^m\e…