设 $\scrX$, $\scrY$ 是 Hilbert 空间, $T\in \scrL(\scrX,\scrY)$, $y_0\in\scrY$, $\alpha>0$. 则 Tikhonov 泛函 $$\bee\label{T} J_\alpha(x)=\sen{Tx-y_0}^2+\alpha\sen{x}^2\quad \sex{x\in \scrX} \eee$$存在唯一最小解 $x^\alpha\in \scrX$, 且 $x^\alpha$ 适合 Euler-Lagrange 方程…

1. 方程  考虑 $\bbR^3$ 中有界区域 $\Omega$ 上如下的稳态流动: $$\bee\label{eq} \left\{\ba{ll} \Div(\varrho\bbu)=0,\\ \Div(\varrho\bbu\otimes \bbu) -\mu\lap \bbu -(\lambda+\mu)\n\Div\bbu +\n \varrho^\gamma =\varrho\bbf+\bbg. \ea\right. \eee$$ 2. 假设  先作一些初步的假设: 2.1. $\d…

1 Lagrange---78岁 约瑟夫·拉格朗日, 全名约瑟夫·路易斯·拉格朗日 (Joseph-Louis Lagrange 1735~1813) 法国数学家.物理学家. 1736年1月25日生于意大利都灵,  1813年4月10日卒于巴黎. 他在数学.力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献,  其中尤以数学方面的成就最为突出. 1.1 生平 拉格朗日1736年1月25日生于意大利西北部的都灵. 父亲 约瑟夫·拉格朗日是法国陆军骑兵里的一名军官, 后由于经商破产, 家道中落. 据拉格朗日…

1 Euler 公式 $e^{i\pi}+1=0$ (1) 它把 a.  $e:$ 自然对数的底 $\approx 2. 718281828459$ (数分) b.  $i$: 虚数单位 $=\sqrt{-1}$ (复变) c.  $\pi$: 圆周率 $\approx 3. 1415926$ (小学就学了) d.  $1$: 自然数的单位 (道生一,一生二,二生三,三生万物---老子关于万物的起源) e.  $0$: 人类最伟大的发现之一 (可以考虑平衡, 欠费等问题了) 这些数学中最重要的一…

Navier-Stokes equations 1 Let $\omega$ be a domain in $\bbR^3$, complement of a compact set $\mathcal{B}$. Consider the following boundary value problem in $\omega$: $$\bee\label{NS:1} \left. \ba{cc} \left.\ba{ll} \nu \lap v=(v-\xi-\omega\times x) \c…

1 ( 10 分 ) 设 $\mathcal{X}$ 是 Banach 空间, $f$ 是 $\mathcal{X}$ 上的线性泛函. 求证: $f\in \mathcal{L}(\mathcal{X})$ 的充分必要条件是 \[ N(f)=\{ x\in \mathcal{X};\ f(x)=0 \} \] 是 $\mathcal{X}$ 的闭线性子空间. 证明: 必要性. 设 $N(f)\ni x_n\to x$, 则 $$\bex f(x)&=&\lim_{n\to\infty}f(…

随机偏微分方程 Throughout this section, let $(\Omega, \calF, \calF_t,\ P)$ be a complete filtered probability space satisfying the usual conditions. 1. Recall the following results: a)         The Doob maximal inequality: if $(N_t)$ is a non-negative $\calF…

$\bf 题目$. 设 $\calX$ 是一个 $B$ 空间, $f:\calX\to \overline{\bbR}\sex{\equiv \bbR\cap\sed{\infty}}$ 是连续的凸泛函并且 $f(x)\not\equiv \infty$. 若定义 $f^*:\calX^*\to \overline{\bbR}$ 为 $$\bex f^*(x^*)=\sup_{x\in\calX}\sed{\sef{x^*,x}-f(x)}\quad\sex{\forall\ x^*\in \c…

设 $u$ 是 $\bbR^n$ 上的调和函数, 且 $$\bex \sen{u}_{L^p}=\sex{\int_{\bbR^n}|u(y)|^p\rd y}^{1/p}<\infty. \eex$$ 试证: $u\equiv 0$. 证明: 由 $$\beex \bea \sev{u(x)}&=\sev{\frac{1}{\omega_n R^n}\int_{B_R(x)}u(y)\rd y}\quad\sex{\omega_n:\ \bbR^n\mbox{ 中单位球体积, 平均值定理}…

1.Introduction 2.First-order Differential Equations Exercise2.1. Find solutons of the following intial-value problems in $\bbR^2$: (1)$2u_y-u_x+xu=0$ with $u(x,0)=2xe^{x^2/2}$; (2)$u_y+(1+x^2)u_x-u=0$ with $u(x,0)=\arctan x$. Solution: (1)Since $(-1,…