CF Round250 E. The Child and Binary Tree 题意:n种权值集合C, 求点权值和为1...m的二叉树的个数, 形态不同的二叉树不同. 也就是说:不带标号,孩子有序 \(n,m \le 10^5\) sro vfk picks orz 和卡特兰数很像啊,\(f_i\)权值为i的方案数,递推式 \[ f[i] = \sum_{i\in C} \sum_{j=0}^{m-i}f[j]f[n-i-j] \] 用OGF表示他 \[ C(x)=\sum_{i\in C}x…

3625: [Codeforces Round #250]小朋友和二叉树 Time Limit: 40 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 650  Solved: 283[Submit][Status][Discuss] Description 我们的小朋友很喜欢计算机科学,而且尤其喜欢二叉树.考虑一个含有n个互异正整数的序列c[1],c[2],...,c[n].如果一棵带点权的有根二叉树满足其所有顶点的权值都在集合{c[1],c[2],...,c[n]}中,我们…

原文链接www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/CF438E.html 前言 没做过多项式题,来一道入门题试试刀. 题解 设 $a_i$ 表示节点权值和为 $i$ 的二叉树个数,特别的,我们定义 $a_0 = 1$ ,即我们认为没有节点也算一种二叉树. 设 $$g(x) = \sum_{i=1}^n x^{c_i}\\f(x) = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$$ 根据组合意义可得 $$f^2(x) g(x) + 1 = f(x) $$ 于是 $$…

题目 首先令\(f_i\)表示权值和为\(i\)的二叉树数量,\(f_0=1\). 转移为:\(f_k=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^{k-c_i}f_j f_{k-c_i-j}\) 令多项式\(D=\sum_{i=0}^m [i在c中出现过]x^i\),\(F(x)为f的普通生成函数\),根据转移式发现F其实等于F卷积上F再卷积上D,再加上一个1,因为转移式转移不到\(f_0\). 所以 \[\begin{align} F&=F^2D+1\\ DF^2-F+1&=0\\…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3625 http://codeforces.com/contest/438/problem/E 开方:https://blog.csdn.net/kscla/article/details/79356786 不过还是不会二次剩余. 也不知道为什么取了 G(x)-B(x)=0 而不是 G(x)+B(x)=0. 式子是  B(x) = ( A(x) + G2(x) ) / 2*G(x) ,但写的…

[CF438E]The Child and Binary Tree(多项式运算,生成函数) 题面 有一个大小为\(n\)的集合\(S\) 问所有点权都在集合中,并且点权之和分别为\([0,m]\)的二叉树的个数. \(n,m<=10^5\) 题解 设\(f(i)\)表示点权和为\(i\)的二叉树个数,\(c(i)\)是集合中数的生成函数,那么我们可以得到 \[f(n)=\sum_{i=1}^{n}c(i)\sum_{j=0}^{n-i}f(j)f(n-i-j)\] 显然有\(f(0)=1\) 构…

[codeforces438E]The Child and Binary Tree 试题描述 Our child likes computer science very much, especially he likes binary trees. Consider the sequence of n distinct positive integers: \(c_1, c_2, \cdots , c_n\). The child calls a vertex-weighted rooted b…

CF438E The Child and Binary Tree Description 给一个大小为\(n\)的序列\(C\),保证\(C\)中每个元素各不相同,现在你要统计点权全在\(C\)中,且点权和为\(m\)的二叉树个数,并对\(998244353\)取模. \(n,m \le 10^5\) Solution \(998244353\)?这很多项式...... 总之先颓柿子好了. 令\(f_n\)表示权值和为\(n\)的二叉树个数,\(g_n\)表示权值\(n\)是否出现在\(C\)中…

[BZOJ 3625] [Codeforces 438E] 小朋友的二叉树 (DP+生成函数+多项式开根+多项式求逆) 题面 一棵二叉树的所有点的点权都是给定的集合中的一个数. 让你求出1到m中所有权值为i的二叉树的个数. 两棵树不同当且仅当树的形态不一样或者是树的某个点的点权不一样 分析 设\(c(i)\)表示数值i是否在集合中.\(f(i)\)表示权值为i的二叉树的个数.那么 \[f(n)=\sum_{i=1}^n c(i) \sum_{j=0}^{n-i} f(j)f(n-i-j)\] 其…

洛谷 Codeforces 思路 看到计数和\(998244353\),可以感觉到这是一个DP+生成函数+NTT的题. 设\(s_i\)表示\(i\)是否在集合中,\(A\)为\(s\)的生成函数,即\(A(x)=\sum_n s_nx^n\). 设\(f_n\)为有\(n\)分时二叉树的个数. 考虑枚举左子树大小和根节点权值,得到 \[ f_n=[n=0]+\sum_{i=1}^{mx} s_i \sum_{j=0}^{n-i} f_jf_{n-i-j} \] 然后记\(F(x)\)为\(f\…

题目传送门 传送点I 传送点II 传送点III 题目大意 每个点的权值$c\in {c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}}$,问对于每个$1\leqslant s\leqslant m$有多少种不同的这样的有根二叉树满足所有点的点权和等于$s$. 先考虑一下怎么用dp来做. 设$f_{n}$表示点权和为$n$的满足条件的二叉树的个数,那么有: $f_{n} = \sum_{c \in C}\sum_{i = 0}^{n - c}f_{i}f_{n - c - i}$ 初值满足$…

http://codeforces.com/contest/438/problem/E 题意:询问每个点权值在 $c_1, c_2, ..., c_m$ 中,总权值和为 $s$ 的二叉树个数.请给出每个$s \in [1,S]$ 对应的答案.($S,m < 10^5$) #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int N=(1e5+10)*4, mo=998244353; int…

题意:有一个集合,求有多少形态不同的二叉树满足每个点的权值都属于这个集合并且总点权等于i 题解:先用生成函数搞出来\(f(x)=f(x)^2*c(x)+1\) 然后转化一下变成\(f(x)=\frac{2}{1+\sqrt{1-4*c(x)}}\) 然后多项式开根和多项式求逆即可(先对下面的项开根,然后再求逆) 多项式开根: \(B(x)^2=A(x) \bmod x^{ \lfloor \frac{n}{2} \rfloor}\) \(B'(x)^2=A(x) \bmod x^{ \lfloo…

传送门 设生成函数\(C(x) = \sum\limits_{i=0}^\infty [\exists c_j = i]x^i\),答案数组为\(f_1 , f_2 , ..., f_m\),\(F(x) = \sum\limits_{i=1}^m f_ix^i + 1\) 注意到选出一棵合法的二叉树,只需要选择一个合法的权值作为根的权值,选择一棵合法的二叉树(可以为空)作为根的左儿子,选择一棵合法的二叉树(可以为空)作为根的右儿子即可.那么有\(F(x) - 1 = F(x) * F(x) *…

题意 链接 Sol 生成函数博大精深Orz 我们设\(f(i)\)表示权值为\(i\)的二叉树数量,转移的时候可以枚举一下根节点 \(f(n) = \sum_{w \in C_1 \dots C_n} \sum_{j=0}^{n-w} f(j) f(n-w-j)\) 设\(T =n-w\),后半部分变为\(\sum_{j=0}^T f(j) f(T-j)\),是个标准的卷积形式. 对于第一重循环我们可以设出现过的数的生成函数\(C(x)\) 可以得到\(f = C * f * f + 1\),+…

思路 设F(x)的第x项系数为权值和为x的答案 题目中要求权值必须在集合中出现,这个不好处理,考虑再设一个C,C的第x项如果是1代表x出现在值域里,如果是0,代表x没有出现在值域里,然后由于二叉树可以分别对左右子树处理,所以 \[ F_k=\sum_{i=1}^k C_i \sum_{j=0}^{k-i}F_j F_{k-i-j} \] \[ F_0=1 \] 可以看出这是一个卷积的形式 \[ F=1+C*F*F \] 然后解一个一元二次方程 \[ F=\frac{1 \pm \sqrt{1-4…

题目链接:洛谷 CF原网 题目大意:有 $n$ 个互不相同的正整数 $c_i$.问对于每一个 $1\le i\le m$,有多少个不同形态(考虑结构和点权)的二叉树满足每个点权都在 $c$ 中出现过,且点权和为 $i$.答案对 $998244353$ 取模. $1\le n,m\le 10^5$. 首先考虑DP,$f_i$ 表示点权和为 $i$ 的树数. 那么枚举根节点的点权和两棵子树的点权和 $f_k=\sum\limits^n_{i=1}c_i\sum\limits^{k-c_i}_{j=0…

#include<cstdio> #include<iostream> #define lowbit(x) x&(-x) typedef long long ll; using namespace std; ll n,q,num,root;string s; int main() { scanf("%I64d%I64d",&n,&q); root=(n+)/; ;q_i<=q;q_i++) { cin>>num>&…

BZOJ 3625 吐槽 BZOJ上至今没有卡过去,太慢了卡得我不敢交了…… 一件很奇怪的事情就是不管是本地还是自己上传数据到OJ测试都远远没有到达时限. 本题做法 设$f_i$表示权值为$i$的二叉树的个数,因为一棵二叉树可以通过左右儿子构建起来转移,我们可以得到转移: $$f_w = \sum_{x, y, w - (x + y) \in c} f_x * f_y$$ 注意到左右子树可以为空,所以$f_0 = 1$. 很容易发现这是一个卷积的形式,我们尝试把它写得好看一点. 先把物品写成生成…

传送门 可以……这很多项式开根模板……而且也完全不知道大佬们怎么把这题的式子推出来的…… 首先,这题需要多项式开根和多项式求逆.多项式求逆看这里->这里,这里讲一讲多项式开根 多项式开方:已知多项式$B$,求多项式$A$满足$A^2\equiv B\pmod{x^n}$(和多项式求逆一样这里需要取模,否则$A$可能会有无数项) 假设我们已经求出$A'^2\equiv B\pmod{x^n}$,考虑如何计算出$A^2\equiv B\pmod{x^{2n}}$ 首先肯定存在$A^2\equiv B…

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF438E 题目大意 每个节点有\(n\)个权值可以选择,对于\(1\sim m\)中的每个数字\(k\),求权值和为\(k\)的二叉树个数. 解题思路 设\(f_n\)表示权值和为\(n\)的方案数,\(g_n\)表示\(n\)这个权值是否可用. 那么我们对于一个\(n\)的转移,可以枚举根节点的权值,然后再用\(f\)去计算子节点的权值,具体的式子是 \[f_n=\sum_{w=1}^ng_w\sum_{i=…

设f(n)为权值为n的神犇二叉树个数.考虑如何递推求这个东西. 套路地枚举根节点的左右子树.则f(n)=Σf(i)f(n-i-cj),cj即根的权值.卷积的形式,cj也可以通过卷上一个多项式枚举.可以考虑生成函数. 设F(x)为f(n)的生成函数,G(x)为c(n)的生成函数,G(x)中含有xa项表示存在ci=a.于是可得F(x)=F2(x)G(x)+1.+1是因为枚举根的权值时没有考虑空树即根没有权值的情况. 可以解出F(x)={1±√[1-4G(x)]}/2G(x)=2/{1±√[1-4G(…

生成函数又有奇妙的性质. $F(x)=C(x)*F(x)*F(x)+1$ 然后大力解方程,得到一个带根号的式子. 多项式开根有解只与常数项有关. 发现两个解只有一个是成立的. 然后多项式开根.求逆. 不太会算复杂度为什么是$n\log {n}$的. 开根号里套了一个求逆,不应该是两个$\log$? #include <map> #include <cmath> #include <queue> #include <cstdio> #include <c…

参考:https://www.cnblogs.com/2016gdgzoi509/p/8999460.html 列出生成函数方程,g(x)是价值x的个数 \[ f(x)=g(x)*f^2(x)+1 \] +1是f[0]=1 根据公式解出 \[ f(x)=\frac{1+(-)\sqrt{1-4*g(x)}}{2*g(x)} \] 舍去+的答案,分式上下同乘\( 1-\sqrt{1-4*g(x)} \) \[ f(x)=\frac{2}{1+\sqrt{1-4*g(x)}} \] 然后套多项式开跟…

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3625 愉快地列式子.设\(F[i]\)表示权值为\(i\) 的子树的方案数,\(A[i]\)为\(i\)在不在集合中. \[ F[n]=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^{n-i}F[i]\cdot F[j]\cdot A[n-i-j] \] 初始状态\(F[0]=1\). 我们把\(F,A\)看成多项式. \[ F(x)-1=F^2(x)\cdot A(x)\\ A(x)\cdo…

960D - Full Binary Tree Queries 思路: 用move1[i]记录第i层第1种操作移动的个数(对这一层的个数取模) 用move2[i]记录第i层第2种操作移动的个数(对这一层的个数取模) 查询方法: 记当前值为 x,当前层为 i,则经过操作后,他到了 x + move1[i] + move2[i] 的位置,记 x = x + move1[i] + move2[i] 则这个位置上一层的位置是 x >> 1,记 x = x >> 1 那我们只要知道 x 这个…

二叉树(Binary Tree)是最简单的树形数据结构,然而却十分精妙.其衍生出各种算法,以致于占据了数据结构的半壁江山.STL中大名顶顶的关联容器--集合(set).映射(map)便是使用二叉树实现.由于篇幅有限,此处仅作一般介绍(如果想要完全了解二叉树以及其衍生出的各种算法,恐怕要写8~10篇). 1)二叉树(Binary Tree) 顾名思义,就是一个节点分出两个节点,称其为左右子节点:每个子节点又可以分出两个子节点,这样递归分叉,其形状很像一颗倒着的树.二叉树限制了每个节点最多有两个子节…

题目链接:Balanced Binary Tree | LeetCode OJ Given a binary tree, determine if it is height-balanced. For this problem, a height-balanced binary tree is defined as a binary tree in which the depth of the two subtrees of every node never differ by more tha…

Sept. 13, 2015 Spent more than a few hours to work on the leetcode problem, and my favorite blogs about this problems: 1. http://siddontang.gitbooks.io/leetcode-solution/content/tree/construct_binary_tree.html 2.http://blog.csdn.net/linhuanmars/artic…

Given a binary tree, return the vertical order traversal of its nodes' values. (ie, from top to bottom, column by column). If two nodes are in the same row and column, the order should be from left to right. Examples: Given binary tree [3,9,20,null,n…