题目 已知 \(f(x)=\sum_{d|x}μ(d)∗d\) 现在请求出下面式子的值 \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}f(gcd(i,j))∗f(lcm(i,j))\) 由于值可能过大所以请对 10^9+7 取模 \(n≤10^9\) 分析 \(f\)为积性函数, 因为\(lcm(i,j)\).\(gcd(i,j)\)的任意一个质因子的指数和\(i\).\(j\)其中一个的相同. 对于每个质因子分开考虑, \(f(gcd(i,j))f(lcm(i,j))=f(i)f…

GCD and LCM Descriptions: Write a program which computes the greatest common divisor (GCD) and the least common multiple (LCM) of given a and b. Input Input consists of several data sets. Each data set contains a and b separated by a single space in…

http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=2026 参考及推导:https://www.cnblogs.com/ivorysi/p/9157781.html (其公式有一处小问题,请注意.) 然后就没了……我觉得讲得挺详细了. 另外map跑得可能比哈希表还快可还行. #include<map> #include<cmath> #include<stack> #include<queu…

[51NOD 1847]奇怪的数学题(莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛,第二类斯特林数) 题面 51NOD \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nsgcd(i,j)^k\] 其中\(sgcd\)表示次大公约数. 题解 明摆着\(sgcd\)就是在\(gcd\)的基础上除掉\(gcd\)的最小因数. 所以直接枚举\(gcd\). \[\begin{aligned} ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n sgcd(i,j)^k\\ &=\sum_{i=1…

[51Nod 1769]Clarke and math2 题面 51Nod 题解 对于一个数论函数\(f\),\(\sum_{d|n}f(d)=(f\times 1)(n)\). 其实题目就是要求\(g=f\times 1^k\). 考虑\(1^k(n)\)怎么求,因为\(1(n)\)是个积性函数,所以\(1^k(n)\)也是个积性函数. 我们考虑对于\(n\)的每个质因子\(p\)和它的次数\(r\),求出对应函数的值. 那么就相当于在每个不同的\(i_{j-1}\)及\(i_j\)中插入一个…

[题目描述] 有一张N,M<=10^12的表格,i行j列的元素是gcd(i,j) 读入一个长度不超过10^4,元素不超过10^12的序列a[1..k],问是否在某一行中出现过 [题解] 要保证gcd(x,y)=a[i],显然x=lcm(a[1],a[2]……a[k]) 然后y%a[1]=0,即(y+i-1)%a[i]=0 即y%a[1]=0 y%a[2]=-1 …… y%a[n]=-(n-1) 这就转化为了中国剩余定理 求出y之后,只需验证gcd(x,y+i-1)=a[i]即可 /*******…

[题目链接] 点击打开链接 [算法] 线性筛出不大于N的所有素数,枚举gcd(x,y)(设为p),问题转化为求(x,y)=p的个数          设x=x'p, y=y'p,那么有(x,y)=1且1≤x,y≤N/p 转化为求(x,y)=1且1≤x,y≤n的个数 求(x,y)=1且1≤x,y≤N的个数: 若x≥y,对于x=1..n,有ϕ(x)个y满足(x,y)=1          若x≤y,对于y=1..n,有ϕ(y)个x满足(x,y)=1          若x=y,只有一种情况:(x=1…

[题目链接] 点击打开链接 [算法] G中最大的数一定也是a中最大的数.          G中次大的数一定也是a中次大的数. 第三.第四可能是由最大和次大的gcd产生的 那么就不难想到下面的算法: 1. 令p为G中最大的数.在G中删除p,a中加入p.         2 . 对于a中的所有其他数(设为q),在G中删除2个gcd(p, q). 3. 若G为空则结束:否则回到(1). [代码] #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #defin…

GCD?LCM! Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 131072/131072 K (Java/Others)Total Submission(s): 316    Accepted Submission(s): 200 Output T lines, find S(n) mod 258280327. Sample Input 8 1 2 3 4 10 100 233 11037 Sample Output 1 5 1…

题目传送门:51nod 我们可以先观察一下这个$f(x)=\sum_{d|x}\mu(d) \cdot d$. 首先它是个积性函数,并且$f(p^k)=1-p \ (k>0)$,这说明函数$f(x)$的值只与$x$的质因数集合有关,与每个质因数的次数无关,然后我们就容易发现$f(gcd(i,j)) \cdot f(lcm(i,j))=f(i) \cdot f(j)$. 于是原式化为 $$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} f(gcd(i,…