1.  在流体存在粘性.热传导及 $\sigma\neq \infty$ 时, 磁流体力学方程组是一个拟线性对称双曲 - 抛物耦合组. 2.  在流体存在粘性.热传导但 $\sigma=\infty$ 时, 磁流体力学方程组是一个拟线性对称双曲 - 抛物耦合组. 3.  如果流体没有任何耗散过程, 此时称为理想磁流体, 而其方程称为理想磁流体力学方程组, 它是一个具有守恒律形式的一阶拟线性对称双曲组.…

不可压情形的磁流体力学方程组 $$\beex \bea \cfrac{\rd {\bf H}}{\rd t}-({\bf H}\cdot\n){\bf u}&=\cfrac{1}{\sigma\mu_0}\lap {\bf H},\\ \Div{\bf H}&=0,\\ \cfrac{\rd {\bf u}}{\rd t}+\n \sex{p+\cfrac{1}{2}\mu_0H^2} &=\mu_0({\bf H}\cdot\n){\bf H}+\bar \mu \lap{\bf…

1.  磁流体力学方程组 $$\beex \bea \cfrac{\p {\bf H}}{\p t} &-\rot({\bf u}\times{\bf H})=\cfrac{1}{\sigma\mu_0}\lap{\bf H},\\ \Div&{\bf H}=0,\\ \cfrac{\p \rho}{\p t}&+\Div(\rho {\bf u})=0,\\ \cfrac{\p (\rho{\bf u})}{\p t}&+\Div(\rho{\bf u}\times{\b…

1.  连续性方程 $$\bex \cfrac{\p \rho}{\p t}+\Div(\rho{\bf u})=0.  \eex$$ 2.  动量守恒方程 $$\bex \cfrac{\p }{\p t}(\rho{\bf u}) +\Div(\rho {\bf u}\otimes{\bf u}-{\bf P}) -\mu\rot{\bf H}\times{\bf H}=\rho {\bf F}, \eex$$ 或 $$\bex \rho \cfrac{\rd {\bf u}}{\rd t}…

1.  Maxwell 方程组 $$\bee\label{3_2_1_Maxwell} \bea \Div{\bf D}&=\rho_f,\\ \rot{\bf E}&=-\cfrac{\p {\bf B}}{\p t},\\ \Div{\bf B}&=0,\\ \rot{\bf H}&=\cfrac{\p {\bf D}}{\p t}+{\bf j}_f, \eea \eee$$ 其中 ${\bf D}=\ve {\bf E}$, ${\bf B}=\mu{\bf H}$…

1.  弹性力学是研究弹性体在荷载的作用下, 其内力 (应力) 和变形所满足的规律的学科. 2.  荷载主要有两种, 一是作用在弹性体上的机械力 (本章讨论); 二是由温度等各种能导致弹性体变形的物理量 (下一章讨论). 3.  弹性体: 在荷载作用下产生弹性形变, 而撤去荷载后变形立即消失, 无题恢复原来的状态. 4.  本构关系: 物体的变形与应力之间的某种关系. 5.  弹性理论 $$\beex \bea\mbox{弹性理论}\sedd{\ba{ll} \mbox{线性弹性理论}\\ \m…

1.  本章讨论可燃流体在流动过程中同时伴随着燃烧现象的情况. 2.  燃烧有两种, 一种是爆燃 (deflagration): 火焰低速向前传播, 此时流体微元通常是未燃气体.已燃气体的混合物; 一种是爆炸 (detonation): 火焰以 $\geq 2000\ m/s$ 的速度向前传播, 此时, Chapman (1899) 与 Jouquet (1905) 认为化学反应过程是瞬时发生并完成的, 即有一波前 (wavefront) 进入未燃气体, 并瞬时地将它变成已燃气体. 3.  本章…

5. 6 弹性静力学方程组的定解问题 5. 6. 1 线性弹性静力学方程组 1.  线性弹性静力学方程组 $$\bee\label{5_6_1_le} -\sum_{j,k,l}a_{ijkl}\cfrac{\p ^2u_k}{\p x_j\p x_l}=\rho_0b_i,\quad i=1,2,3.  \eee$$ 2.  (Korn 不等式) 设 $\Omega\subset{\bf R}^3$ 为有界区域, 则 $$\bex \exists\ C_0>0,\st \int_\Omega…

5.5.1 线性弹性动力学方程组   1.  线性弹性动力学方程组 $$\beex \bea 0&=\rho_0\cfrac{\p{\bf v}}{\p t}-\Div_x{\bf P}-\rho_0{\bf b}\\ &=\rho_0\cfrac{\p}{\p t}\sex{\cfrac{\p{\bf u}}{\p t}} -\Div_x({\bf A}{\bf E})-\rho_0{\bf b}\quad\sex{{\bf u}={\bf y}-{\bf x}}\\ &=\rh…

5. 4 本构方程 - 应力与变形之间的关系 5.4.1. 本构关系的一般形式 1. 若 Cauchy 应力张量 ${\bf T}$ 满足 $$\bex {\bf T}({\bf y})=\hat{\bf T}({\bf x},{\bf F}({\bf x})), \eex$$ 则称材料是 (Cauchy) 弹性的; 这里 $\hat {\bf T}$ 称为响应函数. 若再 ${\bf T}({\bf y})=\hat{\bf T}({\bf F}({\bf x}))$, 则称弹性体是齐次的,…

5. 3 守恒定律, 应力张量 5. 3. 1 质量守恒定律 $$\bex \cfrac{\p \rho}{\p t}+\Div_y(\rho{\bf v})=0.  \eex$$ 5. 3. 2 应力 1.  弹性体所受荷载中的外力部分有体积力 ${\bf b}$, 表面力 ${\bf \tau}$. 2.  在荷载的作用下, 弹性体发生变形. $M$ 处 ${\bf\nu}$ 方向的应力向量 $$\bex {\bf \sigma} =\lim_{{\bf\nu}\perp\lap S\to…

1.  位移向量 $$\bex {\bf u}={\bf y}-{\bf x}. \eex$$ 2.  位移梯度张量 $$\bex \n_x{\bf u}={\bf F}-{\bf I}. \eex$$ 3.  ${\bf C}$ 的表示: $$\beex \bea {\bf C}&={\bf F}^T{\bf C}=[{\bf I}+(\n{\bf u})^T]\cdot [{\bf I}+\n {\bf u}]\\ &={\bf I}+\n{\bf u}+(\n{\bf u})^T+(…

1.  引理 (极分解): 设 $|{\bf F}|\neq 0$, 则存在正交阵 ${\bf R}$ 及对称正定阵 ${\bf U},{\bf V}$ 使得 $$\bex {\bf F}={\bf R}{\bf U}={\bf V}{\bf R}. \eex$$ 此称为 ${\bf F}$ 的极分解. 证明: (1)  先证明存在正交阵 ${\bf P},{\bf Q}$ 及对角阵 ${\bf D}$ 使得 $$\bex {\bf F}={\bf P}{\bf D}{\bf Q}. \eex$…

$$\bex \rd{\bf y}={\bf F}\rd {\bf x}, \eex$$ 其中 ${\bf F}=\n_x{\bf y}=\sex{\cfrac{\p y_i}{\p x_j}}$ 为变形梯度张量.…

一维理想反应流体力学方程组是一阶拟线性双曲组.…

1.  一维粘性热传导反应流体力学方程组的 Lagrange 形式 $$\beex \bea \cfrac{\p \tau}{\p t'}-\cfrac{\p u}{\p m}&=0,\\ \cfrac{\p u}{\p t'}+\cfrac{\p p}{\p m}-\cfrac{\p}{\p m} \sez{\sex{\cfrac{4}{3}\mu+\mu'}\rho \cfrac{\p u}{\p m}}&=F,\\ T\cfrac{\p S}{\p t'}-\sex{\cfrac{4…

1. 一维粘性热传导反应流体力学方程组 $$\beex \bea \cfrac{\p\rho}{\p t}&+\cfrac{\p}{\p x}(\rho u)=0,\\ \cfrac{\p}{\p t}(\rho u) &+\cfrac{\p}{\p x}\sez{ \rho u^2+p-\sex{\cfrac{4}{3}\mu+\mu'}\cfrac{\p u}{\p x} }=\rho F,\\ \cfrac{\p}{\p t}\sex{\rho E+\cfrac{1}{2}\rho…

1.  粘性热传导反应流体力学方程组是拟线性对称双曲 - 抛物耦合组. 2.  理想反应流体力学方程组是一阶拟线性对称双曲组 (取 ${\bf u},p,S,Z$ 为未知函数). 3.  右端项具有间断性.…

1.  记号与假设 (1)  已燃气体的化学能为 $0$. (2)  单位质量的未燃气体的化学能为 $g_0>0$. 2.  对多方气体 (理想气体当 $T$ 不高时可近似认为), $$\bex p=(\gamma-1)e^\frac{S-S_0}{c_V}\rho^\gamma,\quad e=e^\frac{S-S_0}{c_V}\rho^{\gamma-1}\ra p=(\gamma-1)\rho e =(\gamma-1)\rho (E-Zg_0). \eex$$ 3.  对理想气体的多…

1.  粘性热传导反应流体力学方程组 $$\beex \bea \cfrac{\rd \rho}{\rd t}&+\rho \Div{\bf u}=0,\\ \cfrac{\rd Z}{\rd t}&=-\bar k(\rho,p,Z)Z,\\ \cfrac{\rd {\bf u}}{\rd t}&+\cfrac{1}{\rho}\n p =\cfrac{1}{\rho}\Div(2\mu{\bf S}) +\cfrac{1}{\rho}\n \sez{\sex{\mu'-\cfr…

1.  记号: $Z=Z(t,{\bf x})$ 表示未燃气体在微团中所占的百分比 ($Z=1$ 表示完全未燃烧; $Z=0$ 表示完全燃烧). 2.  物理化学 (1)  燃烧过程中, 通过化学反应释放能量; 而不仅仅需要考虑单位质量的内能 (分子的动能与势能), 也要考虑化学能 (原子在分子中的能量), 于是引进完全能 $$\bex E=e+g, \eex$$ 其中 $g$ 表示单位质量的化学能. (2)  流体的状态方程一般与 $Z$ 有关 ($Z$ 不同, 混合气体不同), 而 $$\b…

试证明: 对理想磁流体, 能量守恒方程 (4. 14) 可以写为如下形式: $$\beex \bea \cfrac{\p}{\p t}&\sex{\rho e+\cfrac{1}{2}\rho u^2 +\cfrac{1}{2}\mu_0H^2}\\ +\sum_{k=1}^3 \cfrac{\p}{\p x_k}&\sed{ \rho u_k\sex{e+\cfrac{1}{2}u^2-\cfrac{p}{\rho}} +\mu_0u_kH^2-\mu_0H_k({\bf u}\cdot…

由 $$\bex \cfrac{\p \rho}{\p t}&+u_1\cfrac{\p \rho}{\p x}+\rho\cfrac{\p u_1}{\p x}=0, \eex$$ 我们可以引进 Lebesgue 坐标 $(t',m)$, 而将一维磁流体力学方程组化为 Lagrange 形式, 而有较简单的形式.…

1.  当磁流体力学方程组中的量只依赖于 $t$ 及一个空间变量时, 该方程组称为一维的. 2.  一维磁流体力学方程组 $$\beex \bea \cfrac{\p H_2}{\p t}& +u_1\cfrac{\p H_2}{\p x} +H_2\cfrac{\p u_1}{\p x} -H_1\cfrac{\p u_2}{\p x} =\cfrac{1}{\sigma\mu_0}\cfrac{\p^2H_2}{\p x^2},\\ \cfrac{\p H_3}{\p t}&+u_1\…

磁场线``冻结''原理: 在 $\sigma=\infty$ 时, 初始时刻分布在同一磁场线上的质点, 在运动过程中会一直保持在同一磁场线上, 即磁场线好像``冻结''在物质上. 事实上, $\cfrac{{\bf H}}{\rho}$, $\rd {\bf r}$ 满足同一线性齐次 ODE 组: $$\bex \cfrac{\rd {\bf x}}{\rd t}=\sex{{\bf x}\cdot\n}{\bf u}. \eex$$…

1.  磁流体力学研究等离子体这种导电流体在电磁场中的运动. 2.  任何物质由于 $T, p$ 等条件的不同而可以处于固态.液态.气态 (常见的三种聚集态) 或等离子体. 3.  等离子体就是电离气体, 它由电子.离子及中性粒子三种成分组成; 是一种完全电离或部分电离了的物理状态. 4.  虽然显示生活中的物质以固态.液态.气态存在; 但茫茫宇宙中却有 $99\%$ 以上的物质是等离子体. 如大气层中的电离层就是由等离子体构成. 5.  Crookes 于 1879 年首先提出了物质第四态的存…

1. Lagrange 坐标 $$\beex \bea &\quad 0=\int_\Omega\cfrac{\p \rho}{\p t}+\cfrac{\p}{\p x}(\rho u)\rd x\rd t=\int_{\p\Omega} -\rho u\rd x+\rho \rd t\\ &\ra \exists\ m,\st \rd m=-\rho u\rd t+\rho \rd x. \eea \eeex$$ 取 $$\beex \bea t'&=t,\\ m&=\…

1.  R.H. 条件仅仅给出了越过激波时的能量守恒定律, 即热力学第一定律; 但客观的流体运动过程还需满足热力学第二定律, 即越过激波是个熵增过程: $$\bex S_1>S_0\quad(0,1\mbox{ 分别表示越过激波前.后状态}), \eex$$ 其等价于 (1)  $u_->u_+$ ($-$, $+$ 分别表示左.右状态); (2)  $p_1>p_0$ (激波是压缩的); (3)  Lax 的激波不等式 (熵不等式.熵条件): 对某个 $k\in \sed{1,2,3}…

1.  守恒律方程 $$\bex \cfrac{\p f}{\p t}+\cfrac{\p q}{\p x}=0 \eex$$ 在间断线上应满足 ``间断连接条件'': $$\bex [f]\cfrac{\rd x}{\rd t}=[q]. \eex$$ 2.  对一维理想流体力学方程组 $$\beex \bea \cfrac{\p\rho}{\p t}+\cfrac{\p}{\p x}(\rho u)&=0,\\ \cfrac{\p}{\p t}(\rho u) +\cfrac{\p}{\p…

1.  当流体的压力 $p$ 及温度 $T$ 改变时, 密度 $\rho$ 变化很小. 此时可近似地把流体看作是不可压的, 而 $\rho=\const$. 如此, 流体动力学方程组中的质量.动量守恒方程组可化为 $$\bee\label{2_3_NSE} \bea \Div{\bf u}&=0,\\ \cfrac{\rd{\bf u}}{\rd t}-\mu\lap{\bf u}+\n p&={\bf F}. \eea \eee$$ 2.  \eqref{2_3_NSE} 的求解一般先把…