题目大意:对于一棵随机生成的$n$个结点的有根二叉树,所有不同构的形态等概率出现(这里同构当且仅当两棵二叉树根相同,并且相同节点的左儿子和右儿子都相同),求叶子节点个数的期望是多少? 题解:令$f_n$表示$n$个节点的二叉树的个数,$g_n$表示这$f_n$棵二叉树的叶子节点个数和. 打(ti)表(jie)发现:$g_n=n f_{n-1}$ 证明:而每棵$n-1$个点的二叉树恰好有$n$个位置可以悬挂一个新的叶子,所以每棵$n-1$个点的二叉树被扩展了$n$次.发现会算重复,但是对于一个有$…

Portal Description 给定一个\(n\times n\)的矩阵\(B\)和一个\(1×n\)的矩阵\(C\).求出一个\(1×n\)的01矩阵\(A\),使得\(D=(A×B-C)×A^T\)最大,其中\(A^T\)为\(A\)的转置.输出\(D\). Solution 先展开一波. \[\begin{align*} D &= (A×B-C)×A^T \\ &= \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^n a_ib_{i1}-c_1 & \sum_{i…

P3975 [TJOI2015]弦论 题目描述 为了提高智商,ZJY开始学习弦论.这一天,她在<String theory>中看到了这样一道问题:对于一个给定的长度为\(n\)的字符串,求出它的第\(k\)小子串是什么.你能帮帮她吗? 输入输出格式 输入格式: 第一行是一个仅由小写英文字母构成的字符串\(s\) 第二行为两个整数\(t\)和\(k\),\(t\)为\(0\)则表示不同位置的相同子串算作一个,\(t\)为\(1\)则表示不同位置的相同子串算作多个.\(k\)的意义见题目描述. 输…

\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\) 为了提高智商,ZJY开始学习概率论.有一天,她想到了这样一个问题:对于一棵随机生成的n个结点的有根二叉树(所有互相不同构的形态等概率出现),它的叶子节点数的期望是多少呢? 判断两棵树是否同构的伪代码如下: \(\color{#0066ff}{输入格式}\) 输入一个正整数n,表示有根树的结点数 \(\color{#0066ff}{输出格式}\) 输出这棵树期望的叶子节点数,要求误差小于1e-9 \(\color{#0066ff}{输入样例}…

看着就是要打表找规律 使用以下代码 for(int i=3;i<=20;i++) { int a1=0,a2=0; for(int j=1;j<i;j++) { for(int k=0;k<i;k++) for(int l=0;l<=j;l++) f[i][j]+=f[k][l]*f[i-k-1][j-l]; a2+=f[i][j],a1+=f[i][j]*j; } } 可以打出表 n 树总数 叶子总数 1 1 1 2 2 2 3 5 6 4 14 20 5 42 70 6 132…

题目大意:求一个字符串的第$k$大字串,$t$表示长得一样位置不同的字串是否算多个 题解:$SAM$,先求出每个位置可以到达多少个字串($Right$数组),然后在转移图上$DP$,若$t=1$,初始值赋成$Right$数组大小,否则赋成$1$ 卡点:无 C++ Code: #include <algorithm> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <cstdio> #define maxn 500…

题目大意 随机生成一棵\(n\)(n\leq10^9)个节点的有根二叉树,问叶子结点个数的期望. 题解 subtask 1:\(n\leq100\),70pts 结论:不同的\(n\)个节点的有根二叉树有\(\frac{C_{2\times n}^{n}}{n+1}\)(也就是卡特兰数)个. 设\(f(i)\)表示\(i\)个节点的有根二叉树期望有几个叶子结点. 计算\(f(i)\)时考虑除根以外\(i-1\)个节点哪些放左边,哪些放右边.\(\Theta(n^2)\). subtask 2:\…

感觉要做出来这个题,需要一定的线代芝士 首先,我们来观察这个柿子. 我们将\(B\)的权值看作是收益的话,\(C\)的权值就是花费. 根据矩阵乘法的原理,只有当\(a[i]和a[j]\)都为\(1\)的时候,才能够获取到\(a[i][j]\)代价,而把\(a[i]\)弄成1,又会付出\(c[i]\)的代价. 那这不就是一个经典的最大全闭合子图模型吗? 我们令\(S \rightarrow (i,j)\)这个坐标对应的点.流量是\(b[i][j]\),表示割去这个边,就舍弃了\(b[i][j]\)…

题目描述: Description: Input 输入一个正整数N,代表有根树的结点数 Output 输出这棵树期望的叶子节点数.要求误差小于1e-9 Sample Input 1 Sample Output 1.000000000 HINT 1<=N<=10^9 洛谷链接 BZOJ链接 思路: 一眼数学期望(毕竟题目里都已经说了),那期望是什么呢??? 在概率论和统计学中,数学期望(mean)(或均值,亦简称期望)是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和,是最基本的数学特征之一.它反映随机…

洛谷 题意: 给出一个\(n*n\)的矩阵\(B\),再给出一个\(1*n\)的矩阵\(C\). 求一个\(1*n\)的\(01\)矩阵\(A\),使得\(D=(A\cdot B-C)\cdot A^T\)最大. 思路: 化简最后得: \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nB_{i,j}A_iA_j-\sum_{i=1}^nA_iC_i \] 之后考虑所有的\(A_i\)都为\(1\),现在要将一部分\(A_i\)变为\(0\),最后的损失最小. 因为最后的\(A\)为\(01\…