题解-[国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB 前置知识: 莫比乌斯反演 </> [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB 单组测试数据,给定 \(n,m\) ,求 \[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\operatorname{lcm}(i,j)\bmod 20101009 \] 数据范围:\(1\le n,m\le 10^7\). 作为写出了最暴力的做法的蒟蒻,来推个式子. \(n\le m\),一气呵成: \[\begi…

[国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB 题意 求\(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mlcm(i,j)\),\(n,m\le 10^7\) 鉴于我式子没推出来,所以再推一遍. \[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mlcm(i,j)\] \[=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\frac{ij}{gcd(i,j)}\] \[=\sum\limits_{i=1}…

题面 传送门:洛咕 Solution 调到自闭,我好菜啊 为了方便讨论,以下式子\(m>=n\) 为了方便书写,以下式子中的除号均为向下取整 我们来颓柿子吧qwq 显然,题目让我们求: \(\large \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m lcm(i,j)\) \(lcm\)没法玩,我们转到\(gcd\)形式: \(\large \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \frac{i*j}{gcd(i,j)}\) 根据套路,我们去枚举\(gcd\) \(\large \s…

求解\(\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}lcm\left ( i,j \right )\). 有\(lcm\left ( i,j \right )=\frac{ij}{gcd\left ( i,j \right )}\), 所以原本的式子转化为:\(\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}\frac{ij}{gcd\left ( i,j \right )}\). 注意到\(i, j\) 均为 \(gcd\left ( i,j \right…

题目 我的第一篇莫比乌斯反演题解 兴奋兴奋兴奋 贡献一个本人自己想的思路,你从未看到过的船新思路 [分析] 显然,题目要求求的是 \(\displaystyle Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m lcm(i,j)\) 根据数论知识,很显然 \(lcm(i,j)={ij\over gcd(i,j)}\) \(\therefore \displaystyle Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m lcm(i,j)\) \(\displaystyle \qq…

传送门:洛谷,bzoj 题目描述 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时整除a和b的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24. 回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究最小公倍数,他画了一张NM的表格.每个格子里写了一个数字,其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j).一个45的表格如下: 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4…

题目背景 提示:原 P1829 半数集问题 已经迁移至 P1028 数的计算 题目描述 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时整除a和b的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24. 回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究最小公倍数,他画了一张N*M的表格.每个格子里写了一个数字,其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j).一个4*5的表格如下: 1 2 3 4…

---题面--- 题解: $$ans = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}{\frac{ij}{gcd(i, j)}}$$ 改成枚举d(设n < m) $$ans = \sum_{d = 1}^{n}\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}[gcd(i, j) == d]\frac{ij}{d}$$ 考虑枚举$id$ 设$N = \lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor$,$M = \lfloor{\frac{m}{d}}\r…

推式子太快乐啦!虽然我好蠢而且dummy和maomao好巨(划掉) 思路 莫比乌斯反演的题目 首先这题有\(O(\sqrt n)\)的做法但是我没写咕咕咕 然后就是爆推一波式子 \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j) \] \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\frac{i\times j}{gcd(i,j)} \] 设$ gcd(i,j)=d$ \[ \sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac…

这道题我们要求的是 \[\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Mlcm(i,j)\] 总所周知\(lcm\)的性质不如\(gcd\)优雅,但是唯一分解定理告诉我们\(gcd(i,j)\times lcm(i,j)=i\times j\) 所以很容易的可以转化成这个柿子 \[\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M\frac{i\times j}{(i,j)}\] 现在开始套路了 先设两个函数 \[f(n)=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M[(i,j)==n]\ti…

传送门 式子好麻烦orz……大佬好腻害orz->这里 //minamoto #include<iostream> #include<cstdio> #define ll long long using namespace std; ,mod=; int n,m,vis[N],p[N],cnt,mu[N];ll sum[N]; ll ans,inv2,summ; void init(int lim){ mu[]=; ;i<=lim;++i){ ; ;j<=cnt&a…

又一道...分数和取模次数成正比$qwq$ 求:$\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Mlcm(i,j)$ 原式 $=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M\frac{i*j}{gcd(i.j)}$ $=\sum_{d=1}^{N}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{N}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{M}{d}\rfloor}dij[gcd(i,j)==1]$ $=\sum_{d=1}^{N}\sum_{i=1}^{\l…

传送门 题目要求,求: \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mlcm(i,j)\] 先转化为gcd的形式,然后枚举gcd. \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{d=1}^n\frac{ij}{d}[gcd(i,j) = d]\] 把d除进去,套用莫比乌斯函数的性质: \[\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}i\sum_{j=1}^{\frac{m}{d}}j\sum_{p|i.p|j}\mu(p)\] 继续替换得到:…

题意 注:默认\(n\leqslant m\). 所求即为:\(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}lcm(i,j)\) 因为\(i*j=\gcd(i,j)*lcm(i,j)\),因此原式为: \(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\frac{i*j}{\gcd(i,j)}\) 枚举\(gcd(i,j)=d\): \(\sum\limits_{d=1}^{n}\frac{1}{d}*\sum\lim…

题意:求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)$. 开始开心(自闭)化简: $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)$ =$\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\frac{ij}{d}[gcd(i,j)==d]$ =$\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{…

P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 原题传送门 前置芝士 莫比乌斯反演 乘法逆元 数论分块 正文 //补充:以下式子中的除法均为整除 由题目可以得知,这道题让我们所求的数,用一个式子来表达即为:\(\boxed{ANS=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m LCM(i,j)}\) 而根据莫比乌斯反演的内容,我们可以对右边的式子进行进一步的推导: \[\begin{align} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m LCM(i,j)&=\sum_{i=1}^…

题目描述 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时整除a和b的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24. 回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究最小公倍数,他画了一张NM的表格.每个格子里写了一个数字,其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j).一个45的表格如下: 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这…

Description: 求$ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m lcm(i,j) $ Hint: $ n,m<=10^7 $ Solution: 这题有每次询问 \(O(n)\) 做法,然而原题是多组询问,所以还是好好推 \(O(\sqrt[]{n})\) 做法 首先: \(Ans=\sum_{d=1}^{n}d * \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m i * j * [gcd(i,j)==1] ​\) $Ans=\sum_{d=1}^{n}d * \sum_…

被 bs 了姿势水平--好好学习数学QAQQAQQAQ ref #include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio> using namespace std; typedef long long ll; int n, m, pri[10000005], cnt, mu[10000005], qia[10000005]; bool isp[10000005]; const int mod=20101009; vo…

点此看题面 大致题意: 求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mlcm(i,j)\). 推式子 不会莫比乌斯反演的可以先去看这篇博客:初学莫比乌斯反演. 反演题显然就是推式子啊~~~ 考虑\(lcm\)这个东西不好做,所以我们先把它化成\(gcd\): \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\frac{ij}{gcd(i,j)}\] 接下来就是按照套路枚举\(gcd\)了: \[\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{i=1}^{\lfloor\fra…

考虑到\(lcm(i,j)=\frac{ij}{gcd(i,j)}\) \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\frac{ij}{gcd(i,j)}\) \(\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)==d]\frac{ij}{d}\) \(\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)==1]{ijd}\) \(=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^…

bzoj2154||洛谷P1829 https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2154 https://www.luogu.org/problemnew/show/P1829 不妨设n<=m 就是求$ans=\sum_{k=1}^m{\frac{1}{k}}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m{ij[(i,j)=k]}$ 把1/k后面的那一部分提出来,设为f(k), 然后莫比乌斯反演得到f(k)较简易的计算式,代回ans,并化简…

题目大意:求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)$的和 易得$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\frac{ij}{gcd(i,j)}$ 套路1:提取出$gcd$ $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}ij$ $\sum_{k=1}^{n}k\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor}\sum_{j=1}^…

https://www.cnblogs.com/peng-ym/p/8666124.html #include<bits/stdc++.h> #define LL long long #define ULL unsigned long long #define rep(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++) #define dep(i,j,k) for(int i=k;i>=j;i--) #define INF 0x3f3f3f3f #define mem(i,j…

BZOJ 2154 crash的数字表格 Description 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24.回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究最小公倍数,他画了一张N*M的表格.每个格子里写了一个数字,其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j).一个4*5的表格如下: 1 2 3 4 5 2 2 6 4…

题目 弱化版题目的传送门([BZOJ2154]Crash的数字表格) 加强版题目的传送门([BZOJ2693]jzptab) 思路&解法 题目是要求: \(\sum\limits_{i = 1}^{n}\sum\limits_{j = 1}^{m}lcm(i, j)\) 于是我们可以把式子化成这样: \[\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}\frac{ij}{gcd(i, j)}\] 然后我们枚举gcd \[\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{…

题目描述 TTT组数据,给出NNN,MMM,求∑x=1N∑y=1Mlim(x,y)\sum_{x=1}^N\sum_{y=1}^M lim(x,y)\newlinex=1∑N​y=1∑M​lim(x,y) N,M<=10000000T<=10000N,M <= 10000000\newline T<= 10000N,M<=10000000T<=10000 题目分析 直接开始变换,假设N<M Ans=∑x=1N∑y=1Mxy(x,y)=∑T=1N1T∑x=1N∑y=…

A1231. Crash的数字表格(贾志鹏) 时间限制:2.0s   内存限制:512.0MB   总提交次数:410   AC次数:154   平均分:63.93   将本题分享到:        查看未格式化的试题   提交   试题讨论 试题来源 2011中国国家集训队命题答辩 问题描述 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时整除a和b的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24…

莫比乌斯反演 PoPoQQQ讲义第4题 题解:http://www.cnblogs.com/jianglangcaijin/archive/2013/11/27/3446169.html 感觉两次sqrt(n)的枚举是亮点…… RE:汗- -b 10^7是8位数,开数组少打了一个0…… /************************************************************** Problem: 2154 User: Tunix Language: C++ Re…

2154: Crash的数字表格 Description 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24.回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究最小公倍数,他画了一张N*M的表格.每个格子里写了一个数字,其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j).一个4*5的表格如下: 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3…