题目大意 一行有\(n\)个球,现在将这些球分成\(k\) 组,每组可以有一个球或相邻两个球.一个球只能在至多一个组中(可以不在任何组中).求对于\(1\leq k\leq m\)的所有\(k\)分别有多少种分组方法. 答案对\(998244353\)取模. \(n\leq {10}^9,m<2^{19}\) 题解 因为\(k>n\)的项都是\(0\),所以我们钦定\(m\leq n\) 考虑DP. 记\(f_{i,j}\)为前\(i\)个球分为\(j\)组的方案数. \[ f_{i,j}=f…

题目大意 有一个\(1001\times n\)的的网格,每个格子有\(q\)的概率是安全的,\(1-q\)的概率是危险的. 定义一个矩形是合法的当且仅当: 这个矩形中每个格子都是安全的 必须紧贴网格的下边界 问你最大的合法子矩形大小为\(k\)的概率是多少. \(n\leq {10}^9,k\leq 1000\) 吉老师:这题本来是\(k\leq 20000\) 题解 一道好题. 我们计算最大子矩形不超过\(i\)的答案\(s_i\),那么答案就是\(s_k-s_{k-1}\). 显然最后一行…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定 \(n\) 次多项式 \(F(x)\),在模 \(998244353\) 意义下求 \[G(x)\equiv\left\{\left[1+\ln\left(2+F(x)-F(0)-\exp \int \frac{1}{\sqrt{F(t)}}\text dt\right)\right]^k\right\}'\pmod{x^n} \] 其中保证 \(F(0)\) 是模数的二次剩余,开根取模意义下较小常数项值.   \(n…

前言 这里的全家桶目前只包括了\(ln,exp,sqrt\).还有一些类似于带余数模,快速幂之类用的比较少的有时间再更,\(NTT\)这种前置知识这里不多说. 还有一些基本的导数和微积分内容要了解,建议不懂的可以先去翻翻高二数学书. 之后多项式算法基本是一环扣一环的,所以前面的看不懂对于后面的理解会造成很大影响. 本博客涉及内容偏浅 Tips 这里是一些我个人的模板书写习惯 习惯相关的问题:默认将读入的\(n\)变为\(2\)的整数次幂形式,目前为止这样的做法都不会影响正确性 正确性相关的问题:…

预备知识:FFT/NTT 多项式的逆 给定一个多项式 F(x)F(x)F(x),请求出一个多项式 G(x)G(x)G(x),满足 F(x)∗G(x)≡1(mod xn)F(x)*G(x) \equiv 1(mod\ x^n)F(x)∗G(x)≡1(mod xn). 系数对 998244353998244353998244353 取模,1≤n≤1051≤n≤10^51≤n≤105 首先将多项式的长度拓展至222的次幂,然后我们要求的是 G(x)∗F(x)≡1 (mod xn)G(x)*F(x) \…

牛顿迭代 若 \[G(F_0(x))\equiv 0(mod\ x^{2^t})\] 牛顿迭代 \[F(x)\equiv F_0(x)-\frac{G(F_0(x))}{G'(F_0(x))}(mod\ x^{2^{t+1}})\] 以下多数都可以牛顿迭代公式一步得到 多项式求逆 给定\(A(x)\)求满足\(A(x)*B(x)=1\)的\(B(x)\) 写成 \[A(x)*B(x)=1(mod \ x^n)\] 我们会求\[A(x)*B(x)=1(mod \ x^1)\] 然后我们考虑求\[A…

题目大意:给你两个多项式$f(x)$和$g(x)$,满足$f(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}(a_i+1)$,$g(x)=\prod\limits_{i=1}^{m}(b_i+1)$. 现在给你一个多项式$h(x)$,满足$h(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{j=1}^{m}(a_ib_j+1)$ 请输出多项式$h$的前$k$项,在模$998244353$意义下进行. 数据范围:$n,m≤10^5$. 我们现在有: $f(x)=\…

题意 题目链接 Sol \(B(x) = \exp(K\ln(A(x)))\) 做完了... 复杂度\(O(n\log n)\) // luogu-judger-enable-o2 // luogu-judger-enable-o2 #include<bits/stdc++.h> #define Pair pair<int, int> #define MP(x, y) make_pair(x, y) #define fi first #define se second #defin…

题目大意 有两棵 \(n\) 个点的树 \(T_1\) 和 \(T_2\). 你要给每个点一个权值吗,要求每个点的权值为 \([1,y]\) 内的整数. 对于一条同时出现在两棵树上的边,这条边的两个端点的值相同. 若 \(op=0\),则给你两棵树 \(T_1,T_2\),求方案数. 若 \(op=1\),则给你一棵树 \(T_1\),求对于所有 \(n^{n-2}\) 种 \(T_2\),方案数之和. 若 \(op=2\),则求对于所有的 \(T_1,T_2\),求方案数之和. \(n\leq…

题意 题目链接 Sol 多项式exp,直接套泰勒展开的公式 \(F(x) = e^{A(x)}\) 求个导\(F'(x) = A(x)\) 我们要求的就是\(G(f(x)) = lnF(x) - A(x)\)的零点. 然后把\(F(x)\)看做变量\(A(x)\)看做长度(什么鬼啊qwq) \(G'(F(x)) = \frac{1}{F(x)}\) 然后就可以牛顿迭代啦 \[F(x) = F_0(x) - \frac{G(F_0(x))}{G'(F_0(x))}\] \[F(x) = F_0(x…