题目:http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1965 考虑 \( \prod_{i=1}^{n}\sigma_0^i \) \(=\prod_{j=1}^{p_j<=n}\prod_{t=1}^{p_j^t<=n}(t+1)^{ p_j^tS(\left\lfloor\frac{n}{p_j^t}\right\rfloor) - p_j^{t+1}S(\left\lfloor\frac{n}{p_j^{t+1}}\rig…

题目:http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1965 推式子就同这里:https://www.cnblogs.com/yoyoball/p/9196092.html 一开始想设 \( g(n,j) = \sum\limits_{i=1}^{n} [ min(i) >= p_{j} ] f(i) \),其中 \( f(i) = d(i)  \mu(i) \) 或 \( f(i) = mu(i) \),\( d(i) \) 是…

题目描述 给你\(n\),求 \[ \prod_{i=1}^n{\sigma_0(i)}^{i+\mu(i)} \] 对\({10}^{12}+39\)取模. \(\sigma_0(i)\)表示约数个数. 题解 把式子拆成两部分: \[ \prod_{i=1}^n{\sigma_0(i)}^{i+\mu(i)}=\prod_{i=1}^n{\sigma_0(i)}^{i}\prod_{i=1}^n{\sigma_0(i)}^{\mu(i)} \] 先看前面这部分 \[ \begin{align}…

题目描述 记\(sgcd(i,j)\)为\(i,j\)的次大公约数. 给你\(n\),求 \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{sgcd(i,j)}^k \] 对\(2^{32}\)取模. \(n\leq {10}^9,k\leq 50\) 题解 记\(f(n)\)为\(n\)的次大因数 显然\(sgcd(i,j)=f(gcd(i,j))\) 先推一波式子. \[ \begin{align} &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{sgcd(i,j)}^k\\ =&a…

link \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\mathrm{sgcd}(i,j)^k=\sum_{p=1}^ns(p)^k\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[\gcd(i,j)=p]=\sum_{p=1}^ns(p)^k(-1+2\sum_{i=1}^{n/p}\varphi(i))\) 由于 \(n\) 的范围是 \(10^9\) ,对于后面的我们最多只有根号种取值,根据套路,可以杜教筛/Min_25筛一波. 至于前面的东西,我们可以考虑Min_25筛的过程:…

[51NOD 1847]奇怪的数学题(莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛,第二类斯特林数) 题面 51NOD \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nsgcd(i,j)^k\] 其中\(sgcd\)表示次大公约数. 题解 明摆着\(sgcd\)就是在\(gcd\)的基础上除掉\(gcd\)的最小因数. 所以直接枚举\(gcd\). \[\begin{aligned} ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n sgcd(i,j)^k\\ &=\sum_{i=1…

题目链接 http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1965 题解 需要求的式子显然是个二合一形式,我们将其拆开,分别计算 \(\prod_\limits{i = 1}^n \sigma_0(i)^i\) 与 \(\prod_\limits{i = 1}^n \sigma_0(i)^{\mu(i)}\),再将两部分乘起来得到答案. 对于第一部分 \(\prod_\limits{i = 1}^n \sigma_0(i)^i\):…

Portal --> 51nod1965 Solution 怎么说呢..这题..做的有点痛苦.. 首先看这个式子长得..比较奇怪,指数里面那个加号有点烦人,而且这个函数不是一个积性函数也有点烦人,那就考虑把这个函数拆成两部分来算 \[ \prod\limits_{i=1}^{n}\sigma_0 (i)^{\mu (i)+i}=\prod\limits_{i=1}^{n}\sigma_0(i)^i\cdot\prod\limits_{i=1}^{n}\sigma_0(i)^{\mu (i)} \…

题目大意 给你 \(n,m\),求 \[ \sum_{i=1}^n\sum_{x_1,x_2,\ldots,x_m=1}^i\operatorname{lcm}(\gcd(i,x_1),\gcd(i,x_2),\ldots,\gcd(i,x_m)) \] 对 \({10}^9+7\) 取模. \(nm\leq {10}^9\) 题解 先推一下式子: \[ ans=\sum_{i=1}^n\sum_{x_1,x_2,\ldots,x_m=1}^i\operatorname{lcm}(\gcd(i,…

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Min-25.html 前置技能 埃氏筛法 整除分块(这里有提到) 本文概要 1. 问题模型 2. Min_25 筛 3. 模板题以及模板代码 问题模型 有一个积性函数 $f$ ,对于所有质数 $p$,$f(p)$ 是关于 $p$ 的多项式,$f(p^k)$ 非常容易计算(不一定是关于 p 的多项式). 求 $$\sum_{i=1}^{n} f(i)$$ $n\leq 10^{10}$ ${\rm Time\…