基本的拉格朗日乘子法(又称为拉格朗日乘数法),就是求函数 f(x1,x2,...) 在 g(x1,x2,...)=C 的约束条件下的极值的方法.其主要思想是引入一个新的参数 λ (即拉格朗日乘子),将约束条件函数与原函数联系到一起,使能配成与变量数量相等的等式方程,从而求出得到原函数极值的各个变量的解.拉格朗日乘子是数学分析中同一名词的推广. 什么是拉格朗日乘数法 简单地说,拉格朗日乘数法是用来最小化或最大化多元函数的.如果有一个方程f(x,y,z),在这个方程里的变量之间不是独立的,也就是说这…

拉格朗日乘数法(Lagrange Multiplier Method)之前听数学老师授课的时候就是一知半解,现在越发感觉拉格朗日乘数法应用的广泛性,所以特意抽时间学习了麻省理工学院的在线数学课程.新学到的知识一定要立刻记录下来,希望对各位博友有些许帮助. 1. 拉格朗日乘数法的基本思想 作为一种优化算法,拉格朗日乘子法主要用于解决约束优化问题,它的基本思想就是通过引入拉格朗日乘子来将含有n个变量和k个约束条件的约束优化问题转化为含有(n+k)个变量的无约束优化问题.拉格朗日乘子背后的数学意义是其…

求解条件极值的方法:拉格朗日乘数法 基于对多元函数极值方法的了解,再具体的问题中我们发现这样一个问题,在求解f(x,y,z)的极值的时候,我们需要极值点落在g(x,y,z)上这种对极值点有约束条件,通过直接代换消元的方法似乎会出现一些问题. 比如这个例题. 它面临的问题是,代换消元然后通过求偏导得来的驻点,我们无法控制其满足约束条件g(x,y,z),因此我们需要寻找新的方法来解决这种条件极值问题. 首先这里给出方向导数和梯度中给出的等式关系,这个具体的由来我们会在该小结中详细介绍. 对于可微函数…

题目描述 蛋蛋非常热衷于挑战自我,今年暑假他准备沿川藏线骑着自行车从成都前往拉萨.川藏线的沿途有着非常美丽的风景,但在这一路上也有着很多的艰难险阻,路况变化多端,而蛋蛋的体力十分有限,因此在每天的骑行前设定好目的地.同时合理分配好自己的体力是一件非常重要的事情. 由于蛋蛋装备了一辆非常好的自行车,因此在骑行过程中可以认为他仅在克服风阻做功(不受自行车本身摩擦力以及自行车与地面的摩擦力影响).某一天他打算骑\(N\)段路,每一段内的路况可视为相同:对于第\(i\)段路,我们给出有关这段路况的3个参…

题面 传送门 简要题意:给出\(n\)个点,请求出两条直线,并最小化每个点到离它最近的那条直线的距离的平方和,\(n\leq 100\) orz Shinbokuow 前置芝士 给出\(n\)个点,请求出一条直线,使所有点到它距离的平方和最小,点带插入和删除 如果我们设\(y=kx+b\),设点\(i\)为\((x_i,y_i)\),那么就是要求我们最小化 \[ \begin{aligned} Ans &=\sum_{i=1}^n{(kx_i-y_i+b)^2\over k^2+1}\\ &…

题面 传送门 题解 劲啊-- 没有和\(Claris\)一样推,用了类似于\(Shinbokuow\)推已知点求最短直线的方法,结果\(WA\)了好几个小时,拿\(Claris\)代码拍了几个小时都没找到\(bug\)在哪儿,最后发现是我一个除法的地方忘记除数为\(0\)的情况了--甘霖娘-- 公式恐惧症患者可以直接转去结论了 设直线为\(ax+by+c=0\),点为\((x,y)\),记\(d_i=a_i^2+b_i^2\),那么就是要我们最小化 \[ \begin{aligned} f(x,…

题目链接 BZOJ 题解 拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法用以求多元函数在约束下的极值 我们设多元函数\(f(x_1,x_2,x_3,\dots,x_n)\) 以及限制\(g(x_1,x_2,x_3,\dots,x_n) = E\) 我们需要求\(f\)在限制\(g\)下的极值 如图 当\(f\)取到最值时,必然与\(g\)的等高线相切 所以我们只需找出这个切点 切点处两函数的梯度向量平行\({\nabla f~//~\nabla g}\) 梯度向量的每一维就是该维下的偏导函数 \[{\nabla…

预备知识 令 \(X\) 表示一个变量组(向量) \((x_1, x_2, \cdots, x_n)\) 考虑一个处处可导的函数 \(f(X)\), 为了方便描述, 这里以二元函数为例 对于微分, 考虑在初始点处固定x移动y产生的变化量, 是和先将x移动dx,然后固定x移动y产生的变化量是相等的 那么有全微分公式 \(df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy\) 定义 \(\nabla f(x,…

[传送门]http://codeforces.com/problemset/problem/813/C [题意]给定整数a,b,c,s,求使得  xa yb zc值最大的实数 x,y,z , 其中x + y + z <= s. (1 ≤ S ≤ 103  , 0 ≤ a, b, c ≤ 103) [题解]设P(x,y,z ) = xa yb zc,则P(x,y,z)是递增的,要使 函数值尽可能地大,那么必取 x + y + z = s 问题转化成:已知限定条件  x + y + z = s, 求…

题目 https://www.nowcoder.com/acm/contest/4/B题意 有n条南北流向的河并列排着,水流速度是v,现在你需要从西岸游到东岸,总共T个时间,你的游泳速度是u,问东岸的上岸点和西岸的下水点之间距离最大是多少? 分析 其实就是求南北方向位移的最大值 如果给定在一条河里的游泳时间,那么当然可以算出在这条河里的位移最大值 具体的对于第i条河来说,将游泳速度u分成水平方向的$x$和竖直方向的$\sqrt{u^2-x^2}$ 那么容易整理出最大位移$f_i(t)=vt+\s…