题目 这种题目看上去就是有循环节的对吧. 在考场上,一个可行的方式是打表. 现在我们手推一下这个循环节. 记函数\(f(t)=(((t+\lfloor\frac tB\rfloor)\%A),(t\%B))\),那么\(f(t_1)=f(t_2)\)的充要条件为: \[ t_1+\lfloor\frac {t_1}B\rfloor\equiv t_2+\lfloor\frac {t_2}B\rfloor(mod\ A) \] \[ t_1\equiv t_2(mod\ B) \] 看到第二个很熟…

传送门 考虑求出最小的循环节 $G$ 使得 $t,t+G$ 得到的数对是一样的 由 $y \equiv t \mod B$ ,得到 $G$ 一定是 $B$ 的倍数,设 $zB=G$,则 $t,t+zB$ 结果相同 代入 $x \equiv (t+\left \lfloor \frac{t}{B} \right \rfloor) \mod A$ 得到 $(t+zB+\left \lfloor \frac{t+zB}{B} \right \rfloor) \equiv (t+\left \lfloo…

正解:数论 解题报告: 传送门$QwQ$ 我好像当初考的时候这题爆零了,,,部分分都没想到,,,我真的好菜$kk$ 考虑如果在$t_1,t_2$两个时刻有$x_1=x_2,y_1=y_2$是什么情况$QwQ$? 那就有$\begin{cases}t_1+[\frac{t_1}{B}]\equiv t_2+[\frac{t_2}{B}](\mod A)\\t_1\equiv t_2(\mod B)\end{cases}$. 不妨设$t_2=t_1+B\cdot t$,代入得$t_1+[\frac{…

[LOJ#3144][APIO2019]奇怪装置(数论) 题面 LOJ 题解 突然发现\(LOJ\)上有\(APIO\)的题啦,赶快来做一做. 这题是窝考场上切了的题嗷.写完暴力之后再推了推就推出正解了... 考虑\(t1,t2\)两个时刻,如果两个时刻的\((x,y)\)相等的话,考虑是一种什么样的情况. \[\begin{cases} t_1+[\frac{t_1}{B}]\equiv t_2+[\frac{t_2}{B}](\mod A)\\ t_1\equiv t_2(\mod B) \…

[LG5444][APIO2019]奇怪装置 题面 洛谷 题目大意: 给定\(A,B\),对于\(\forall t\in \mathbb N\),有二元组\((x,y)=((t+\lfloor\frac tB\rfloor)\bmod A,t\bmod B)\). 对于给定的\(n\)个区间\([l,r]\),要你求出\(t\in [l_1,r_1]\bigcup [l_2,r_2]...\bigcup [l_n,r_n]\)对应有多少个不同的二元组. 数据范围: \(1\leq n\leq…

problem loj-3144 题意概要:设函数 \(f(t)\) 的返回值为一个二元组,即 \(f(t)=((t+\lfloor \frac tB\rfloor)\bmod A, t\bmod B)\),现在给出 \(n\) 个区间,问 \(t\) 在这 \(n\) 个区间中取值时,有多少个不同的 \(f(t)\). \(n\leq 10^6,\ l_i,r_i,A,B\leq 10^{18}\),区间互不相交 Solution 一开始没啥想法,\(loj\) 的题面上写了 \(l_i\le…

$solution:$ 问题其实就是求两个式子的循环节. 钦定 $t\mod B=0$且 $(t\neq 0)$,其 $t$ 为循环节. 则将 $1$ 式拆开得 $\frac{t\times (B+1)}{B}\mod A=0$. $\frac{t\times (B+1)}{B}\equiv 0\space(\mod A)$ $\frac{t}{B}\equiv 0\space (\mod \frac{A}{gcd(A,B+1)})$ $t\equiv 0\space (\mod \frac{A…

#3144. 「APIO 2019」奇怪装置 题目描述 考古学家发现古代文明留下了一种奇怪的装置.该装置包含两个屏幕,分别显示两个整数 \(x\) 和 \(y\). 经过研究,科学家对该装置得出了一个结论:该装置是一个特殊的时钟,它从过去的某个时间点开始测量经过的时刻数 \(t\),但该装置的创造者却将 \(t\) 用奇怪的方式显示出来.若从该装置开始测量到现在所经过的时刻数为 \(t\),装置会显示两个整数:\(x = ((t + \lfloor \frac{t}{B} \rfloor) \b…

[APIO 2010] [LOJ 3144] 奇怪装置 (数学) 题面 略 分析 考虑t1,t2时刻坐标相同的条件 \[\begin{cases} t_1+\lfloor \frac{t_1}{B} \rfloor \equiv t_2+\lfloor \frac{t_2}{B} \rfloor (\mathrm{mod}\ A) \\ t_1 \equiv t_2 (\mathrm{mod}\ B)\\ \end{cases}\] 由第二个式子,可以令\(t_1=t_2+Bk(k \in N)…

考古学家发现古代文明留下了一种奇怪的装置.该装置包含两个屏幕,分别显示两个整数x和y.经过研究,科学家对该装置得出了一个结论:该装置是一个特殊的时钟,它从过去的某个时间点开始测量经过的时刻数t,但该装置的创造者却将t用奇怪的方式显示出来.若从该装置开始测量到现在所经过的时刻数为t,装置会显示两个整数:\(x=((t+\lfloor\frac{t}{B}\rfloor)\mod A)\),与\(y=(t\mod B)\).这里⌊x⌋是下取整函数,表示小于或等于x的最大整数.考古学家通过进一步研究还…