\[\Large\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_{2n}}{n(6n+1)}\] \(\Large\mathbf{Solution:}\) Let \(S\) denote the sum. Then \[\begin{align*} S=\sum_{n=1}^\infty \frac{H_{2n}}{n(6n+1)} &= \sum_{n=1}^\infty\frac{H_{2n}}{n}\int_0^1 x^{6n}\mathrm dx \\…

\[\Large\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\widetilde{H_n}}{n^{3}}\] where \(\widetilde{H_n}\) is the alternating harmonic number. \(\Large\mathbf{Solution:}\) Namely, \[\widetilde{H_n} = \ln (2) + (-1)^{n-1} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x} \math…

\[\Large\sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_{n}}{2^nn^4}\] \(\Large\mathbf{Solution:}\) Let \[\mathcal{S}=\sum^\infty_{n=1}\frac{H_n}{n^42^n}\] We first consider a slightly different yet related sum. The main idea is to solve this sum with two different meth…

\[\Large\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{H_n}{2n+1}=\mathbf{G}-\frac{\pi}{2}\ln(2)\] \(\Large\mathbf{Proof:}\) \(\Large\mathbf{Method~One:}\) Using the relation \(\displaystyle H_{n} = \int_{0}^{1} \frac{1-x^n}{1-x} \mathrm{d}x\), we find…

\[\Large\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(H_{n}^{(2)}\right)^{2}}{n^{2}}=\frac{19}{24}\zeta(6)+\zeta^{2}(3)\] \(\Large\mathbf{Proof:}\) We use the Abel's rearrangement over the \(N\)-th partial sum of the series, \[\begin{align*}\sum\limits_{n=1}^{N}\fr…

\[\Large\sum_{n=0}^\infty \frac{H_{2n+1}}{(2n+1)^2}=\frac{21}{16}\zeta(3)\] \(\Large\mathbf{Proof:}\) Let \(\displaystyle S_1=\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^2}\) and \(\displaystyle S_2 = \sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{H_n}{n^2}\). Then, our sum ca…

我们的网页因为 CSS 而呈现千变万化的风格.这一看似简单的样式语言在使用中非常灵活,只要你发挥创意就能实现很多比人想象不到的效果.特别是随着 CSS3 的广泛使用,更多新奇的 CSS 作品涌现出来.<CSS 魔法系列>继续给大家带来 CSS 在图形绘制中的创新使用. 您可能感兴趣的相关文章 35个让人惊讶的 CSS3 动画效果演示 Web 前沿:一组极其绚丽的 CSS3 效果 Web 前沿:那些让人惊叹的 CSS3 应用 十款精心挑选的在线 CSS3 代码生成工具 年度盛宴:2012年最精彩…

WCF编程系列(六)以编程方式配置终结点   示例一中我们的宿主程序非常简单:只是简单的实例化了一个ServiceHost对象,然后调用open方法来启动服务.而关于终结点的配置我们都是通过配置文件来完成的.在本讲中,我们将直接使用编程方式来配置终结点. ServiceHost类 即服务宿主类,它为我们的服务提供一个运行环境.ServiceHost的构造函数有三个重载: ServiceHost()  使用无参数的构造必须要有相应的配置文件设置. ServiceHost(Object,Uri[])…

原文:SQL Server 2008空间数据应用系列六:基于SQLCRL的空间数据可编程性 友情提示,您阅读本篇博文的先决条件如下: 1.本文示例基于Microsoft SQL Server 2008 R2调测. 2.具备 Transact-SQL 编程经验和使用 SQL Server Management Studio 的经验. 3.具有使用 Microsoft Visual Studio 进行 Microsoft .NET Framework开发的经验. 4.熟悉或了解Microsoft S…

R语言数据分析系列六 -- by comaple.zhang 上一节讲了R语言作图,本节来讲讲当你拿到一个数据集的时候怎样下手分析,数据分析的第一步.探索性数据分析. 统计量,即统计学里面关注的数据集的几个指标.经常使用的例如以下:最小值,最大值,四分位数,均值,中位数,众数,方差,标准差.极差,偏度,峰度 先来解释一下各个量得含义,浅显就不说了,这里主要说一下不常见的 众数:出现次数最多的 方差:每一个样本值与均值的差得平方和的平均数 标准差:又称均方差,是方差的二次方根.用来衡量一个数据集的…