第一眼,Burnside 直接丢上去啊. 设 \(f(n,m)\) 是有 \(n-m\) 个白色珠子和 \(m\) 个白色珠子的满足题意的环的个数,容易得到答案是: \[\sum_{d|n,d|m}f(\frac{n}{d},\frac{m}{d})\varphi(d) \] 考虑左边这个 \(f\) 怎么做. 我们将环断开,枚举前缀和后缀的黑色珠子个数,有: \[f(n,m)=\sum_{x+y\leq k,x+y+2\leq n}g(n-x-y-1,m-x-y)=\sum_{i=0}^{\m…