题意简述 求出这个式子 \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ij(i,j) \bmod p \] 做法 先用莫比乌斯反演拆一下式子 \[ \begin{split} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ij(i,j)&=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ij[(i,j)=d]\\ &=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\l…

题目链接 简单的数学题 题目描述 输入一个整数n和一个整数p,你需要求出 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (i\cdot j\cdot gcd(i,j))\ mod\ p\]  其中\(gcd(a,b)\)表示\(a\)与\(b\)的最大公约数 输入 一行两个整数\(p,n\) 输出 一行一个整数,为题目中所求值 样例 样例输入 998244353 2000 样例输出 883968974 数据范围 \(n\leq 10^{10}\) \(5\times 10^8 \leq…

题目链接 \(Description\) 求\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\frac{lcm(i,j)}{gcd(i,j)}\] 答案对\(10^9+7\)取模. \(n<=10^9\) \(Solution\) 以前做的反演题都是\(j\)枚举到\(n\),但是现在\(j\)只枚举到\(i\)就非常难受,考虑怎么求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{lcm(i,j)}{gcd(i,j)}\). 可以把它看成是一个\(n*n\)的网格,第\(i\…

题目大意:略 洛谷传送门 杜教筛入门题? 以下都是常规套路的变形,不再过多解释 $\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N}ijgcd(i,j)$ $\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N}ij\sum\limits_{d|gcd(i,j)}\varphi(d)$ $\sum\limits_{d=1}^{N} \varphi(d) \sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{…

P3768 简单的数学题 题目描述 由于出题人懒得写背景了,题目还是简单一点好. 输入一个整数\(n\)和一个整数\(p,\)你需要求出\((\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j)) \bmod p\),其中\(gcd(a,b)\)表示\(a\)与\(b\)的最大公约数. 刚才题面打错了,已修改 输入输出格式 输入格式: 一行两个整数\(p\).\(n\). 输出格式: 一行一个整数\((\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j))\b…

题目描述 由于出题人懒得写背景了,题目还是简单一点好. 输入一个整数n和一个整数p,你需要求出(\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j))~mod~p\),其中gcd(a,b)表示a与b的最大公约数. 输入输出格式 输入格式: 一行两个整数p.n. 输出格式: 一行一个整数(\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j))~mod~p\). 输入输出样例 输入样例#1: 998244353 2000 输出样例#1: 883968974…

题目链接 emm标题全称应该叫“莫比乌斯反演求出可狄利克雷卷积的公式然后卷积之后搞杜教筛” 然后成功地困扰了我两天qwq 我们从最基本的题意开始,一步步往下推 首先题面给出的公式是$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}ijgcd(i,j)$ 枚举gcd(i,j)=w,得到 $\sum\limits_{w=1}^{n}w\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}ij[w=gcd(i,j)]$ 这时候我们设一个…

[题目链接] https://www.luogu.org/problemnew/show/P3768 [题目描述] 求 \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}i* j* gcd(i,j)\mod\ p\) [欧拉反演题解] https://www.luogu.org/blog/zhoutb2333/solution-p3768 /* ----------------------- 最大测试点,时限6s [Input] 1000000007 9786510294 [Outpu…

https://www.luogu.org/problemnew/show/P3768 \(F(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}ijgcd(i,j)\) 首先加入方括号并枚举g,提gcd的g: \(\sum\limits_{g=1}^{n}g\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}ij[gcd(i,j)==g]\) 后面的方括号里的g也可以提出来,注意前面有两个id,所以: \(\sum\lim…

传送门 不会…… 两篇加在一起都看不懂…… https://www.cnblogs.com/cellular-automaton/p/8241128.html https://www.luogu.org/blog/cjyyb/solution-p3768 //minamoto #include<iostream> #include<cstdio> #include<map> #define ll long long using namespace std; ; map&…

题目描述 求 \[\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} i*j*gcd(i,j) \pmod{p}\] \(n<=10^{10}\),\(p\)是质数 题解 推导很长就省略啦,, 有空补回来 最后推得这个式子: \[\sum\limits_{T = 1}^{n} (\frac{\lfloor \frac{n}{T} \rfloor * (\lfloor \frac{n}{T} \rfloor + 1)}{2})^2 * T^2 * \varphi…

题意:求$(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ijgcd(i,j))mod p$(p为质数,n<=1e10) 很显然,推式子. $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ijgcd(i,j)$ =$\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ijd[gcd(i,j)==d]$ =$\sum_{d=1}^{n}d^3\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\l…

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} ij\gcd(i,j)\] \[=\sum_{d=1}^{n} d \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} ij[\gcd(i,j)==d]\] \[=\sum_{d=1}^{n} d^3 \sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor} ij[\gcd(i,j)==1]\] \[=\sum_{d=1}^{n}…

求 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ijgcd(i,j)$   考虑欧拉反演: $\sum_{d|n}\varphi(d)=n$   $\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ij\sum_{d|gcd(i,j)}\varphi(d)$   $\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ij\sum_{d|i,d|j}\varphi(d)$   $\Rightarrow \sum_{d=1}^{…

非常恶心的一道数学题,推式子推到吐血. 光是\(\gcd\)求和我还是会的,但是多了个\(ij\)是什么鬼东西. \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij\gcd(i,j)=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij[\gcd(i,j)=d]\] 很套路的把后面的\(d\)提出来: \[\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij[\gcd(i,j)=d]=\sum_{d=1}^nd^3\sum_{i=1}^{…

解: 神奇的一批......参观yyb巨神的博客. 大致思路就是第一步枚举gcd,发现后面有个限制是gcd=1,用反演,得到的F(x)是两个等差数列求积. 然后发现有个地方我们除法的除数是乘积,于是换元枚举那个乘积.提到最前面. 稍微化一下,发现后面有个Id * miu,这个东西化成phi. 然后得到一个式子,前半部分是s2(n/i)这个整除分块,后面就要相应的求这个东西i2phi[i]的前缀和来迎合整除分块. 然后就是杜教筛,先设个g,把h(n)写出来发现要消掉一个d2,于是g(x) = x2…

\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\) 由于出题人懒得写背景了,题目还是简单一点好. 输入一个整数n和一个整数p,你需要求出(\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j))~mod~p\),其中gcd(a,b)表示a与b的最大公约数. \(\color{#0066ff}{输入格式}\) 一行两个整数p.n. \(\color{#0066ff}{输出格式}\) 一行一个整数(\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j))~…

求单个莫比乌斯函数忘记算n本身的质数,WA了一发. http://www.fjutacm.com/Problem.jsp?pid=2360 首先,显然随着n增大,与m互质的数不会变少.可以二分来求k,关键是怎么快速计算n以内和m互质的数的个数. 反过来,我们求n以内与m的gcd至少为2的数的个数. 枚举m的因子d,d从2开始到m,那么每个因子d的贡献就是mu(d),不知道怎么解释好. 比如枚举了gcd为因子2,那么gcd为4,8的情况就已经被2包含了,不用计算,直接mu(4)=mu(8)=0.…

https://www.luogu.org/problemnew/show/P3768 化简一下式子,就是$\sum_{d=1}^ncalc(d)d^2\varphi(d)$ 其中$calc(d)=\frac{({\lfloor}\frac{n}{d}{\rfloor}+1)^2{{\lfloor}\frac{n}{d}{\rfloor}}^2}{4}$ 可以对calc(d)做整除分块,那么要求$d^2\varphi(d)$的前缀和 看一眼数据范围,大概要杜教筛 凑了一会,发现令$f(d)=d^…

Description: 求出\((\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n ij\ gcd\ (i,j)) mod\ p\) Hint: \(n<=10^{10}​\) Solution: \(Ans=\sum_{d=1}^nd^3 \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} ij\ \ [gcd(i,j)==1]​\) \(Ans=\sum_{d=1}^nd^3\…

$$\begin{eqnarray}&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ij\gcd(i,j)\\&\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ij[\gcd(i,j)=d] \\&\sum_{d=1}^{n}d^3\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{n}{d}}ij[\gcd(i,j)=1] \\&\sum_{d=1}^{n}d^3\sum_{i=1}^{\fra…

最近重新系统地学了下这几个知识点,以前没发现他们的联系,这次总结一下. 莫比乌斯反演入门:https://blog.csdn.net/litble/article/details/72804050 线性筛筛常见积性函数及其代码:https://blog.masterliu.net/algorithm/sieve/ 积性函数与线性筛(包括普通线性函数):https://blog.csdn.net/weixin_42562050/article/details/87997582 bzoj2154/b…

我也不知道什么是"莫比乌斯反演"和"杜教筛" Part0 最近一直在搞这些东西 做了将近超过20道题目吧 也算是有感而发 写点东西记录一下自己的感受 如果您真的想学会莫比乌斯反演和杜教筛,请拿出纸笔,每个式子都自己好好的推一遍,理解清楚每一步是怎么来的,并且自己好好思考. Part1莫比乌斯反演 莫比乌斯反演啥都没有,就只有两个式子(一般只用一个) 原来我已经写过一次了,再在这里写一次 就只写常用的那个吧 基本的公式 对于一个函数\(f(x)\) 设\(g(x)=\…

P3768 简单的数学题 题目描述 输入一个整数n和一个整数p,你需要求出$(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j))~mod~p$,其中gcd(a,b)表示a与b的最大公约数. 输入输出格式 输入格式: 一行两个整数p.n. 输出格式: 一行一个整数$(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j))~mod~p$. 输入输出样例 输入样例#1: 复制 998244353 2000 输出样例#1: 复制 883968974 说明 对于20…

真是一道"简单"的数学题呢~ 反演题, 化式子. \[ ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nijgcd(i,j) \\ =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{d=1}^nij[gcd(i,j)=d]\\ =\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{i=1}^nij[gcd(i,j)=1]\\ =\sum_{d=1}^nd^3\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac nd \right \rfloor}…

[Luogu3768]简单的数学题(莫比乌斯反演,杜教筛) 题面 洛谷 \[求\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nijgcd(i,j)\] $ n<=10^9$ 题解 很明显的把\(gcd\)提出来 \[\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij[gcd(i,j)==d]\] 习惯性的提出来 \[\sum_{d=1}^nd^3\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{n/d}ij[gcd(i,j)==1]\] 后面这玩意很明显的来一发…

题目大意: 找第k个非平方数,平方数定义为一个数存在一个因子可以用某个数的平方来表示 这里首先需要考虑到二分才可以接下来做 二分去查找[1 , x]区间内非平方数的个数,后面就是简单的莫比乌斯反演了 容斥原理的思想,首先考虑所有数都属于非平方数 那么就是x 然后对于每一个平方数都要减去,但是这里应该只考虑质数的平方数就可以了 那么就扩展为x - x/(2^2) - x/(3^2) - x/(k^2).... 然后因为中间存在重复减的那么要加回来 -> x - x/(2^2) - x/(3^3) …

链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/549/J来源:牛客网 题目描述 小A最近开始研究数论题了,这一次他随手写出来一个式子,∑ni=1∑mj=1gcd(i,j)2∑i=1n∑j=1mgcd(i,j)2,但是他发现他并不太会计算这个式子,你可以告诉他这个结果吗,答案可能会比较大,请模上1000000007.输入描述:一行两个正整数n,m一行两个正整数n,m输出描述:一行一个整数表示输出结果一行一个整数表示输出结果   输入:2 2输出:7 1=<n,m<…

[51NOD 1847]奇怪的数学题(莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛,第二类斯特林数) 题面 51NOD \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nsgcd(i,j)^k\] 其中\(sgcd\)表示次大公约数. 题解 明摆着\(sgcd\)就是在\(gcd\)的基础上除掉\(gcd\)的最小因数. 所以直接枚举\(gcd\). \[\begin{aligned} ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n sgcd(i,j)^k\\ &=\sum_{i=1…

P3768 [简单的数学题] \(Ans=\sum ^{n}_{i=1}\sum ^{n}_{j=1}ijgcd(i,j)\) \(=\sum ^{n}_{i=1}\sum ^{n}_{j=1}ij\sum _{k|i,k|j} φ(k)\) \(=\sum ^{n}_{k=1} φ(k) \sum _{k|i}\sum _{k|j}ij\) \(=\sum ^{n}_{k=1}\varphi (k) k^{2} (\sum ^{n/k}_{i=1}i)^{2}\) \(=\sum ^{n}_{…