题目大意:给你一个集合$n,m,x,S(S_i\in(0,m],m\leqslant 8000,m\in \rm{prime},n\leqslant10^9)$,求一个长度为$n$的序列$Q$,满足$Q_i\in S$,且$\prod\limits _{i=1}^nQ_i=x$,求序列的个数 题解:乘比较麻烦,可以把每个数求$\ln$,可以求出$m$的原根,求原根可以暴力$O(m^2)$求,然后每个数求$\ln$,求出生成函数$F(x)$,算出$F^n(x)$.发现$n$较大,多项式快速幂即可.…

传送门 题意:$a_i\in S$,求$\prod_{i=1}^na_i\equiv x\pmod{m}$的方案数 这题目太珂怕了……数学渣渣有点害怕……kelin大佬TQL 设$f[i][j]$表示$\prod_{k=1}^ia_k\equiv j\pmod{m}$的方案数 那么$$f[2*i][j]=\sum_{ab\equiv j\pmod{m}}f[i][a]f[i][b]$$ 然后因为$m$是质数.质数有一个叫做原根的东西,质数$p$的原根$g$满足$g^i\ mod\ p$在$i$为…

显然dp就是设\(f[i][j]\)表示dp了i轮,对m取膜是j的方案数 \(f[i][xy\mod m]=f[i-1][x]\times f[i-1][y]\) 这是\(O(nm^2)\)的 像我这样的蒟蒻都能想到用类似快速幂一样的东西来转移是吧,那么就\(O(log_2 nm^2)\)了 非常难受,还是过不去 如果可以优化一下dp转移就好了,比如把乘改成加,就能用NTT了 然后就要用到一个叫做原根的东西,学NTT的时候只是记了一下不知道这货有啥用 质数\(m\)原根\(g\)的性质:对\(m…

懒得放传送[大雾 有趣的一道题 前几天刚好听到Creed_神犇讲到相乘转原根变成卷积的形式 看到这道题当然就会做了啊w 对于m很小 我们暴力找原根 如果你不会找原根的话 出门左转百度qwq 找到原根以后所有数转成原根的幂次然后卷积就吼了啊 多项式卡速米 由于是循环卷积所以每一次还要转回系数相加再转回来 所以是不优美的O(nlg^2n) =v= 代码在这里. //Love and Freedom. #include<cstdio> #include<cstring> #include…

\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\) 小C有一个集合S,里面的元素都是小于M的非负整数.他用程序编写了一个数列生成器,可以生成一个长度为N的数列,数列中的每个数都属于集合S.小C用这个生成器生成了许多这样的数列.但是小C有一个问题需要你的帮助:给定整数x,求所有可以生成出的,且满足数列中所有数的乘积mod M的值等于x的不同的数列的有多少个.小C认为,两个数列{Ai}和{Bi}不同,当且仅当至少存在一个整数i,满足Ai≠Bi.另外,小C认为这个问题的答案可能很大,因此他只需要你…

思路 首先有个挺显然的DP \[ dp[i][(j*k)\%m]+=dp[i-1][j]\times dp[i-1][k] \] 想办法优化这个DP 这个dp也可以写成这样 \[ dp[i][j]=\sum_{p*q=j}dp[i-1][p]\times dp[i-1][q] \] 看着一副卷积的样子 但是是乘法,可以考虑转化乘法为加法,有两种方式,取ln或者原根 注意到m是质数,所以取原根,每层之间的转移就变成卷积了 但是这题的卷积下标是模m的,所以每次乘完都要把大于m-1的加到对应项上(i+…

一道不错的多项式好题.还涉及了一些数论内容. 首先我们看到题目是求乘积模\(m\)的方案数,考虑到这种方案数我们一般都可以用生成函数来做. 但显然卷积的下标有加(FFT,NTT等)有位运算(FWT)但是没有乘法的.除非您十分dalao自己发明一个卷积算法 所以我们考虑化乘为加,我们注意到\(m\)是一个不大的指数,那么意味这我们可以利用同余系下的一大利器--原根 关于原根的主要性质,其实就是原根\(g\),满足\(g^0,g^1\dots g^{m-2}\)模\(m\)后各不相同. 所以我们可以…

[LG3321][SDOI2015]序列统计 题面 洛谷 题解 前置芝士:原根 我们先看一下对于一个数\(p\),它的原根\(g\)有什么性质(好像就是定义): \(g^0\%p,g^1\%p,g^2\%p...g^{p-2}\%p\)恰好等于\([1,p]\)中所有数. 那么怎么求呢? 对\(\varphi(p)\)分解质因数,得到\(\varphi(p)=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}...p_n^{a_n}\) 从\(2\)~\((p-1)\)枚举\(g\),如果满…

3992: [SDOI2015]序列统计 Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 1017  Solved: 466[Submit][Status][Discuss] Description 小C有一个集合S,里面的元素都是小于M的非负整数.他用程序编写了一个数列生成器,可以生成一个长度为N的数列,数列中的每个数都属于集合S. 小C用这个生成器生成了许多这样的数列.但是小C有一个问题需要你的帮助:给定整数x,求所有可以生成出的,且满足数列中…

[SDOI2015]序列统计 标签: NTT 快速幂 Description 给你一个模m意义下的数集,需要用这个数集生成一个数列,使得这个数列在的乘积为x. 问方案数模\(1004535809\). Solution 首先很容易写出一个dp. \(dp_{i,j}\)数列长度为i,乘积为j的方案数. 这么做是\(O(nm^2)\)的. 所以我们肯定要搞点事情,把n变成logn. 这个数列显然是满足结合律的,并且每次的转移都相同. 于是可以写一个快速幂,把n降为logn. 注意到乘积不太好维护,…

3992: [SDOI2015]序列统计 链接 分析: 给定一个集和s,求多少个长度为n的序列,满足序列中每个数都属于s,并且所有数的乘积模m等于x. 设$f=\sum\limits_{i=0}^{n - 1} a_i x ^ i \ \ 如果集合中存在i,a_i = 1$ 那么答案的生成函数为f自乘n次,这里可以快速幂.这里"乘法"定义是:设多项式a乘多项式b等于c,$\sum\limits_{k=0}^{n - 1} c_k = \sum\limits_{i \times j =…

3992: [SDOI2015]序列统计 Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 2275  Solved: 1090[Submit][Status][Discuss] Description 小C有一个集合S,里面的元素都是小于M的非负整数.他用程序编写了一个数列生成器,可以生成一个长度为N的数 列,数列中的每个数都属于集合S.小C用这个生成器生成了许多这样的数列.但是小C有一个问题需要你的帮助: 给定整数x,求所有可以生成出的,且满足数…

3992: [SDOI2015]序列统计 Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 1888  Solved: 898[Submit][Status][Discuss] Description 小C有一个集合S,里面的元素都是小于M的非负整数.他用程序编写了一个数列生成器,可以生成一个长度为N的数 列,数列中的每个数都属于集合S.小C用这个生成器生成了许多这样的数列.但是小C有一个问题需要你的帮助: 给定整数x,求所有可以生成出的,且满足数列…

[BZOJ3992][SDOI2015]序列统计 Description 小C有一个集合S,里面的元素都是小于M的非负整数.他用程序编写了一个数列生成器,可以生成一个长度为N的数列,数列中的每个数都属于集合S. 小C用这个生成器生成了许多这样的数列.但是小C有一个问题需要你的帮助:给定整数x,求所有可以生成出的,且满足数列中所有数的乘积mod M的值等于x的不同的数列的有多少个.小C认为,两个数列{Ai}和{Bi}不同,当且仅当至少存在一个整数i,满足Ai≠Bi.另外,小C认为这个问题的答案可能…

3992: [SDOI2015]序列统计 Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 1155  Solved: 532[Submit][Status][Discuss] Description 小C有一个集合S,里面的元素都是小于M的非负整数.他用程序编写了一个数列生成器,可以生成一个长度为N的数列,数列中的每个数都属于集合S. 小C用这个生成器生成了许多这样的数列.但是小C有一个问题需要你的帮助:给定整数x,求所有可以生成出的,且满足数列中…

3992: [SDOI2015]序列统计 Description 小C有一个集合S,里面的元素都是小于M的非负整数.他用程序编写了一个数列生成器,可以生成一个长度为N的数列,数列中的每个数都属于集合S. 小C用这个生成器生成了许多这样的数列.但是小C有一个问题需要你的帮助:给定整数x,求所有可以生成出的,且满足数列中所有数的乘积mod M的值等于x的不同的数列的有多少个.小C认为,两个数列{Ai}和{Bi}不同,当且仅当至少存在一个整数i,满足Ai≠Bi.另外,小C认为这个问题的答案可能很大,因…

洛谷 P1628 合并序列 题目传送门 题目描述 有N个单词和字符串T,按字典序输出以字符串T为前缀的所有单词. 输入格式 输入文件第一行包含一个正整数N: 接下来N行,每行一个单词,长度不超过100: 最后一行包含字符串T. [数据规模] 对于60%的数据,满足1≤N≤1000: 对于100%的数据,满足1≤N≤100000且所有字符均为小写字母; 输出格式 按字典序升序输出答案. 输入输出样例 输入 #1复制 输出 #1复制 题解: 这道题有多种方法: 字典树(Trie树).排序.二叉堆..…

题目 [SDOI2015]序列统计 挺好的题!!! 做法 \(f[i][j]\)为第\(i\)个数前缀积在模\(M\)意义下为\(j\) 显然是可以快速幂的:\[f[2*i][j]=\sum\limits_{ab\equiv j(mod~ M)}f[i][a]\cdot f[i][b]\] 时间复杂度\(O(m^2 log n)\) 考虑转换到对数上则可以化乘为加,而\(M\)为质数,原根\(g\)的\(g_0^{m-2}\)恰好对应\([1,m-1]\) 我们用这些代替数\(g^A\equiv…

题目:洛谷P3324 [SDOI2015]星际战争 思路: 类似<导弹防御塔>,因为题目保证有解,花费时间小于最终答案时一定无法消灭所有敌人,只要花费时间大于等于最终答案都可以消灭所有敌人,答案满足单调性,考虑二分答案. 二分答案后,转化为判定性问题.当总时间固定,每件武器的总伤害量就确定了. 于是可以按网络流建模:把武器和敌人分成两部分,从源点s向武器连边,容量为该武器可以输出的总伤害量(当前二分到的时间time*该武器的dps):每件武器向可以它攻击到的敌人连边,容量为inf:每个敌人向汇…

[题解]SDOI2015序列统计 来自永不AFO的YYB的推荐 这里是乘积,比较麻烦,不过由于给定的序列膜数是个小质数,所以可以\(O(m^2\log m)\)找原跟(实际上不需要这么多). 乘积有点麻烦,转换成加法就好了,然后取离散对数\(a_i\equiv g^{c_i} \mod m\),现在每个元素都用原根的指数代替了,问题就转变成了有多少种方案使得每个元素的乘积等于\(\log x\mod m\). 根据题意直接构造 \[ F(x)=\sum [\exist \log a_i=i]x^…

题目: 洛谷3321 分析: 一个转化思路比较神(典型?)的题-- 一个比较显然的\(O(n^3)\)暴力是用\(f[i][j]\)表示选了\(i\)个数,当前积在模\(m\)意义下为\(j\)的方案数,每次转移枚举\(S\)的元素,即(\(k^{-1}\)表示\(k\)在模\(m\)意义下的逆元): \[f[i][j]=\sum_{k\in S} f[i-1][jk^{-1}]\] 事实上写的时候通常是从\(f[i][j]\)往\(f[i+1][jk]\)贡献 然后通过Orz题解发现那个乘法\…

To 洛谷.2879 区间统计 题目描述 FJ's N (1 ≤ N ≤ 10,000) cows conveniently indexed 1..N are standing in a line. Each cow has a positive integer height (which is a bit of secret). You are told only the height H (1 ≤ H ≤ 1,000,000) of the tallest cow along with th…

(写上瘾了再来一篇吧) 标题统计[传送门] 洛谷算法标签 字符串这种东西,我看到是崩溃的.因为我们只学到了二维数组[这个梗自行get],总之我们当时还没有学.然后显然就是各种翻书,各种百度.大致了解了字符串,开始写程序.开始时输入Ca 45时,只算到“a”,也就是两个长度.又是一轮百度,成功算到了“5”,然鹅空格也算进去了.然后我在想要不要转化成ASCII码,然后等于32的时候就减去一个长度,然而并没有实现啊. 然后我不会了,我就带着空格交上去了.[也是很佩服我自己] 居然对了16个点!!成功用…

洛谷题面传送门 u1s1 在我完成这篇题解之前,全网总共两篇题解,一篇使用的平衡树,一篇使用的就是这篇题解讲解的这个做法,但特判掉了一个点,把特判去掉在 BZOJ 上会 WA 一个点. 两篇题解都异常简略,前一篇题解甚至只有代码没有说明,所以这里我来写篇比较详细题解造福人类了(大雾 建议没做过这题的同学先看看这道题,看题解区第一个做法,对这题有比较大的启发. 注:下文中分别用 \(a,b,l,r\) 代替题面中的 \(X,Y,A,B\). 首先关于这题咱们可以想到一个非常 naive 的 DP,…

洛谷题面传送门 好几天没写题解了,写篇题解意思一下(大雾 考虑反悔贪心,首先我们考虑取出 \(a,b\) 序列中最大的 \(k\) 个数,但这样并不一定满足交集 \(\ge L\) 的限制,因此我们需要调整,我们假设 \(L-\) \(a,b\) 序列中最大的 \(k\) 个数的交集为 \(L'\),如果 \(L'\le 0\) 那不用调整直接输出即可.否则我们考虑每次调整部分 \(a_i,b_i\) 的取值使得 \(a,b\) 的交集加 \(1\),不难发现每次调整可能有以下可能: 选择两个下…

BZOJ原题链接 洛谷原题链接 STL 本题可以直接使用\(\mathtt{STL\ multiset}\)水过去. 因为本题插入数的操作实际上就是将原数列分为\(n\)段,在每一段的末尾插入数,所以我们只需维护每一段的开头和末尾两个数,这样更新相邻差值时只需考虑插入数与原末尾和下一段的开头两个数的差值就好. 而维护这个差值,只开一个\(\mathtt{multiset}\)就好(其中是所有相邻差值).当插入一个数时,先将原本的末尾和后一段开头的差值从\(\mathtt{multiset}\)里…

BZ链接 洛谷链接 这道题真是丧心病狂.... 应该很容易就可以看出做法,但是写代码写的....... 思路很简单,用一个平衡树维护一下所有的操作就好了,重点讲解一下代码的细节 首先如果按照常规写法的话,splay的节点要开到4000000, 直接炸飞, 由于任意时刻splay中的节点最多只有500000个,我们只需要开500000个节点就好了 然后将没有用的节点回收起来,下一次插入是插入到这些节点中 然后就是插入是将要插入的所有数字build成一颗平衡树,直接接在要插入的位置,这样会快很多 维…

LOJ 题面传送门 / 洛谷题面传送门 题意: 求 \(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^md(ij)\),\(d(x)\) 为 \(x\) 的约数个数. \(n,m \leq 5 \times 10^4\). 抛出一个引理:\(d(ij)=\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}[\gcd(x,y)=1]\),该定理将在这篇博客结束证明. 知道这个定理之后,就可以按照套路开始推式子了: \[\begin{aligned}&an…

气死了,FFT了半天发现是NTT... 1004535809 这个东西是NTT模数,原根为3. 题意:给定集合,元素的大小不超过M.用这些元素组成长为n的序列,要求乘积模M为k,求方案数. n <= 1e9,M是质数 解:有一个10分的暴力DP... 正解首先考虑加起来模M为k. 我们可以考虑构造多项式f(x),第i项表示i是否在集合内. 那么答案就是(f(x))n的第k项系数.多项式快速幂. 这个东西的长度可能会很长,那么我们每次乘完之后就把多于M项的系数全部模到小于M. 然后这道题求的是乘积…

P1110 [ZJOI2007]报表统计 题目描述 \(Q\)的妈妈是一个出纳,经常需要做一些统计报表的工作.今天是妈妈的生日,小\(Q\)希望可以帮妈妈分担一些工作,作为她的生日礼物之一. 经过仔细观察,小\(Q\)发现统计一张报表实际上是维护一个非负整数数列,并且进行一些查询操作. 在最开始的时候,有一个长度为N的整数序列,并且有以下三种操作: \(INSERT\) \(i\) \(k\):在原数列的第i个元素后面添加一个新元素\(k\):如果原数列的第\(i\)个元素已经添加了若干元素,则…