定理 过$n$个有标志顶点的树的数目等于$n^{n-2}$. 此定理说明用$n-1$条边将$n$个已知的顶点连接起来的连通图的个数是$n^{n-1}$.也可以这样理解,将n个城市连接起来的树状网络有$n^{n-1}$种可能方案.所谓树状,指的是用$n-1$条边将$n$个城市连接起来,即无环.当然,建造一个树状网络一般是求其长度最短或造价最少等.Cayley定理只能说明可能方案的数目. 证明 Cayley定理的证明方法很多,下面采用最聪明也是最容易理解的一一对应法.不失一般性,假定已知的n个顶点标…

题目链接: E - Tunnel Network ZOJ - 3604 题目大意: 给定编号1-n的点,和给定编号1-S 的联通图,刚开始1号联通图只有 1个顶点,就是编号为1的顶点,2号联通图也只有1个顶点,编号为2的顶点,同理 3,4,5知道s: 剩下的顶点还有 s+1,s+2,s+3,….到n: 这些点你可以随机分配,以连边的方式加入到S个联通图里, 现在问...最后由N个点构成的森林..种类,方案数有多少? 凯莱定理讲解:http://www.cnblogs.com/zhj5chengf…

参考资料: 1.matrix67 <经典证明:Prüfer编码与Cayley公式> 2.百度百科 3.Forget_forever prufer序列总结 4.维基百科 5.dirge的学习笔记 一.Cayley定理 我们先讲讲Cayley公式/定理?. 凯莱定理,是所有群 G 同构于在 G 上的对称群的子群. 什么鬼?! 其实定理还有另一种表述:过n个有标志顶点的树的数目等于n^(n-2),也即完全图K_n有n^(n-2)棵生成树. 此定理说明用n-1条边将n个一致的顶点连接起来的连通图的个数…

P2817 宋荣子的城堡一道找规律的题,现在深入追究发现了有趣的东西.1 12 23 94 64显然k^(k-1) 在日照的时候也推出来了.3 9今天推错了,要列出所有的情况,然后再选,否则会漏掉.答案是(k^(k-1)) * ((n-k)^(n-k))对了,我卡速米一直打的是错的.要对指数为0的情况特判,不然会死循环. 现在,告诉我,why? cayley定理(凯莱定理)对于有n个节点,生成树的方案有多少种?答案是n^(n-2)推导过程如下:k表示现在有多少子树显然初始时,k==n现在从n个节…

题目描述 saruka有一座大大的城堡!城堡里面有n个房间,每个房间上面都写着一个数字p[i].有一天,saruka邀请他的小伙伴LYL和MagHSK来城堡里玩耍(为什么没有妹子),他们约定,如果某一个人当前站在i号房间里,那么下一步他就要去p[i]号房间,在下一步就要去p[p[i]]号房间. 为了增加趣味性,saruka决定重新书写一下每个房间的p[i],以满足: <1>如果从编号为1-k的某个房间走,按照规则走,必须能走回1号房间.特别的,如果从1号房间开始走,也要走回1号房间.(至少走一…

概述 系数为常数,递推项系数均为一次的,形如下面形式的递推式,称为线性递推方程. \[f[n]=\begin{cases} C &n\in Value\\ a_1 f[n-1]+a_2 f[n-2]+⋯a_t f[n-t]&n∉Value \end{cases}\] \((a_1,a_2,-,a_t,C∈\mathbb{R},0<t<n)\) 其中\(Value\)为终止条件的集合. 例如:斐波那契\((Fibonacci)\)数列则通过下面这个线性递推方程定义 \[f[n]=…

自闭集训 Day2 线性代数 高斯消元 做实数时,需要找绝对值最大的作为主元,以获取更高精度. 在欧几里得环(简单例子是模合数)意义下也是对的.比如模合数意义下可以使用辗转相除法消元. 欧几里得环:对于任意\(a,b\),都可以定义\(a=qb+r\ \ (|r|<b)\),于是可以辗转相除.(显然,多项式环也是欧几里得环) 逆矩阵 方法与高斯消元类似,左边摆一个原矩阵,右边摆一个单位矩阵,高斯消元的过程中左边的行操作都在右边同样做一遍.最后左边剩下一个单位矩阵,右边就是逆矩阵. 对于方程\(A…

1.高斯消元 在模意义下依然有效,对主元求逆即可. 甚至可以模合数,需要对两个方程辗转相除,复杂度\(O(n^3\log p)\). 辗转相除法只要能定义带余除法就有效. 逆矩阵:对于矩阵\(A\),定义逆矩阵\(A^{-1}\)为满足\(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=e\)的矩阵. 求逆矩阵可以高斯消元.设有\(A\cdot A^{-1}=e\)的形式,把\(A\)消元成单位矩阵的过程中,对方程右侧进行同样的操作. 应用:设有方程\(A\cdot x=b\)(大写字母…

离散数学 II(知识点汇总) 目录 离散数学 II(知识点汇总) 代数系统 代数系统定义 例子 二元运算定义 运算及其性质 二元运算的性质 封闭性 可交换性 可结合性 可分配性 吸收律 等幂性 消去律 特殊的元素性质 幺元 零元 逆元 证明逆元且唯一定理 二元运算表中性质的体现 半群 广群 成立条件 半群 定义 特性 子半群 独异点 成立条件 特性 证明是半群或独异点 群和子群 群 定义 阶数.有限群.无限群 1阶.2阶.3阶.4阶群 特性 幂特性 运算表特性 运算 子群 定义 判定条件 性质…

\(\text{Prufer}\)序列,是树与序列的一种双射. 构建过程: 每次找到一个编号最小的叶子节点\(Leaf\),将它删掉,并将它所连接的点的度数\(-1\),且加入\(\text{Prufer}\)序列. 重复上述步骤,直到只剩下两个点. 实现: 考虑如何实现. 最朴素的显然每次暴力找,复杂度\(O(n^2).\)显然不够优秀. 用堆来维护节点,显然可以做到\(O(n\log n).\) 考虑线性实现:维护一个指针,每次指向编号最小的叶节点.删除之后,如果新产生了叶节点并且编号要比指…