发现自己这几天智商完全不在线-- 这道题的数据十分的水,怎样都可以艹过去-- 开始想了一个完全错误的算法,枚举一对点,判断这一对点是否同时在两条最短路上,是就用两点之间的路径更新答案.显然这样是错的: 8 10 7 8 2 5 1 3 1 3 5 2 3 6 2 3 8 4 5 8 4 6 8 2 5 6 4 6 2 9 7 5 7 6 7 9 答案显然是 0,但是这个算法会输出 3. 但是实际上这个做法是可以 AC 的,但是我只有 30 分,原因先按下不表. 然后点开了讨论,发现我的做法果然是…

题意 求\(\gcd(a, b)\),其中\(a,b\leq10^{10000}\) 题解 使用\(\text{Stein}\)算法,其原理是不断筛除因子\(2\)然后使用更相减损法 如果不筛\(2\)因子的话复杂度是线性的,比如\(a=1,b=10^{10000}\) 再证明下更相减损术,即\(\gcd(a,b)=gcd(a-b,b)\): 假设\(d=\gcd(a,b)\),则\(a=pd,b=qd\) 根据定义可知\(\gcd(p,q)=1\) 因此\(px+qy=1\)存在解\(x,y\…

题意 边权\(w \in [1, 9]\)的\(n\)个结点的有向图,图上从\(1\)到\(n\)长度为\(d\)的路径计数,\(n \leq 10\). 题解 如果边权为\(1\)很经典,设\(f[k][i]\)表示从\(1\)到\(i\),长度为\(k\)的路径条数,则\(f[k][i] = \sum_{j=1}^n f[k - 1][j] a[j][i]\).于是可以构造初始矩阵,再乘以\(a^k\)(\(a\)为图的邻接矩阵). 现在边权不唯一,但是边权很小,可以拆点,一个点拆成\(9\…

题目大意: 求字符集大小为$k$长度为$n$的经循环移位后为回文串的数量. 题解: 这题是D1里最神的吧 考虑一个长度为$n$回文串,将其循环移位后所有的串都是满足要求的串. 但是显然这样计算会算重.考虑什么情况下会算重. 即当我们将这个回文串移位$x$后,发现这个新字符串为一个回文串时,必然接下来的移位都是重复的. 那么当$x$为多少时,新字符串为一个回文串? 我们稍加分析就会发现x一定和回文串的最小循环节$d$有关. 考虑最小循环节若为偶数时,当$x==d/2$时,则会变为一个新的回文串.…

题目大意: 给一个$G=(V,E)$,满足$|V|=n$,$|E|=m$,且保证图联通,有Q个询问,每组询问有s个点,求图中有多少点满足:将其删去后,这s个点中存在一对点集$(a,b)$不联通且删去点不为s中的点. $n,m,\sum s$均为$1e5$级别. 题解: 显然满足性质的点都是割点. 我们建一颗圆方树,然后考虑对于每组询问为所有点之间路径覆盖的割点数量. 用虚树+树剖维护即可. 不是很难,但考场上把点双写错,多调了1h. 代码: #include "bits/stdc++.h&quo…

题意 一个\(r\times c\)的棋盘,棋盘上有\(n\)个标记点,每个点有三种类型,类型\(1\)可以传送到本行任意标记点,类型\(2\)可以传送到本列任意标记点,类型\(3\)可以传送到周围八连通任意标记点.求最长路径. \(r,c\leq 10^6,n\leq 10^5\) 题解 这题做法很多,我就把每一行的所有类型\(1\)门缩到一起(直接找一个代表),列也同理,然后暴力连边,类型\(3\)连边用\(\text{map}\),这样每个点的入边中类型\(1\)或\(2\)最多有\(1\…

题意 你有一个森林,你需要支持两个操作 查询两个结点路径上权值第\(k\)小 两个点之间连一条边 强制在线,结点数\(\leq 8\times 10^4\) 题解 如果可以离线,这就是一个主席树板子题,每个点开一个主席树表示树上的前缀和.询问的时候拿出来\(4\)棵主席树,\(x,y,lca(x,y)\)和\(fa(lca(x,y))\),然后每次用\(x,y\)的信息减去\(lca(x,y),fa(lca(x,y))\)的信息就能得到这条链的信息 这里要求在线,可以考虑启发式合并,比如连接\(…

题意 有一张 \(n\times m\) 的数表,其第\(i\)行第\(j\)列的数值为能同时整除\(i\)和\(j\)的所有自然数之和. \(T\)组数据,询问对于给定的 \(n,m,a\) , 计算数表中\(\leq a\) 的数之和. \(T \leq 2\times 10^4,1 \leq n,m\leq 10^5\). 题解 令\(\sigma(x)\)表示\(x\)的约数和,容易写出答案的式子: \[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m\sigma(\gcd(i,j))…

题意 设\(d(x)\)为\(x\)的约数个数,求\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}d(ij)\). 题解 首先证个公式: \[d(ij) = \sum_{x|i}\sum_{y|j} [gcd(x,y)=1]\] 可以这么考虑:利用唯一分解定理把\(i,j\)分解,即: $i=\prod_{k = 1}^{m} p_k^{c_k},j=\prod_{k=1}^m p_k^{d_k} $ 那等式左边显然为\(\prod(c_k+d_k+1)\), 然后考虑等式右边在干什…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向连通图,\(q\) 次询问,每次给出一个点集 \(s\),求至少在原图中删去多少个点,使得 \(s\) 中存在两点不连通.多组数据.   每组数据 \(n,q\le10^5\),\(m,\sum|s|\le2\times10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   看到 \(\sum|s|\) 的限制,不难联想到虚树或者其它与 DFN 相关的算法.   所…