[ZJOI2019] 开关 (一种扩展性较高的做法) 题意: 有n个开关,一开始状态都为关闭.每次随机选出一个开关将其状态改变,选出第i个开关的概率为${ p_i \over \sum_{i=1}^n p_i} $,求状态第一次变为s的操作步数. 题解: 考虑先从组合方法入手. 最基本的思路就是枚举一种必定结束的状态,但是这样的状态不一定合法,因为这个状态的前缀可能已经结束了,所以我们可以容斥若干个前缀,强制这些前缀已经结束,来算出这个状态中没有一个前缀能够结束的方案数. 当然,在枚举的过程中,…

原文链接www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/UOJ469.html 前言 clytql当场秒掉此题可惜不知道为什么fst了. 题解 考虑构建指数生成函数. 对于第 \(i\) 项,设其概率为 \(p_i\) (即题目中的 \(p_i / \sum_i p_i\)) .构建指数生成函数: \[f_i(x) = \sum_{j\geq 0, j\bmod 2 = s_i} p_i ^ j \frac {x^ j } { j !} \\ = \frac 1 2 (e ^ {p…

注:以下p[i]均表示概率 设F(x)为按i次开关后到达终止状态方案数的EGF,显然F(x)=π(ep[i]x/p+(-1)s[i]e-p[i]x/p)/2,然而方案包含一些多次到达合法方案的状态,需将其排除.n次操作回到原状态的方案数的生成函数G(x)=π(ep[i]x/p+e-p[i]x/p)/2.实现时只需要记录F(x)=Σa[i]eix/P中a[i](-P<=i<=P)的系数即可(G(x)也一样),于是暴力复杂度O(nP).H(x)为答案的生成函数,显然F.G.H所对应的OGF f.g…

以下的方案数默认是带权方案数.设\(P=\sum_{i=1}^np_i\). 设\(F(x)\)为按\(i\)次开关后到达终止态的方案数的EGF,\(f\)为\(F\)的OGF,显然\(F(x)=\prod_{i=1}^n\frac{e^{\frac{p_ix}{P}}+(-1)^{s_i}e^{\frac{-p_ix}{P}}}{2}\).初步的想法就是用\(f'(1)\)计算答案,但是这样是错误的,因为可能存在一些操作序列多次到达过终止态,这样就被重复计算了.设\(h(x)\)为按\(i\)…

[UOJ#450][集训队作业2018]复读机(生成函数,单位根反演) 题面 UOJ 题解 似乎是\(\mbox{Anson}\)爷的题. \(d=1\)的时候,随便怎么都行,答案就是\(k^n\). \(d=2\)的时候,可以做一个\(dp\),设\(f[i][j]\)表示前\(i\)个复读机选了\(j\)个时间的方案数. 然后枚举当前这个复读机复读的次数,得到: \[f[x][j]=\sum_{i=0}^{j}[2|i]{n-j+i\choose i}f[x-1][j-i]\] 化简啥的之后…

Loj #3045. 「ZJOI2019」开关 题目描述 九条可怜是一个贪玩的女孩子. 这天,她和她的好朋友法海哥哥去玩密室逃脱.在他们面前的是 \(n\) 个开关,开始每个开关都是关闭的状态.要通过这关,必须要让开关达到指定的状态.目标状态由一个长度为 \(n\) 的 \(01\) 数组 \(s\) 给出,\(s_i = 0\) 表示第 \(i\) 个开关在最后需要是关着的,\(s_i = 1\) 表示第 \(i\) 个开关在最后需要被打开. 然而作为闯关者,可怜和法海并不知道 \(s\).因…

题目传送门:LOJ #3045. 题意简述 略. 题解 从高斯消元出发好像需要一些集合幂级数的知识,就不从这个角度思考了. 令 \(\displaystyle \dot p = \sum_{i = 1}^{n} p_i\). 我们考虑一个操作序列 \(\{a_1, a_2, \ldots , a_k\}\),其中 \(1 \le a_j \le n\),就表示第 \(i\) 次按下了开关 \(a_j\). 那么按 \(k\) 次后恰好得到这个序列的概率就是 \(\displaystyle \pr…

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/UOJ450.html 题解 首先有一个东西叫做“单位根反演”,它在 FFT 的时候用到过: $$\frac 1 n \sum_{i=0}^{n-1} \omega_n ^{d\cdot i} = [d|n]$$ 其中 $\omega_n$ 表示 $n$ 次单位根. 接下来我们回到本题. 我们来搞一个指数生成函数,第 i 项表示总共复读 i 次,使得一个复读机开心的方案. $$f(x) = \sum_{i\ge…

传送门 好神仙的题目--又一次有了做一题学一堆的美好体验 据说本题有第二类斯特林数+分治\(FFT\)的做法,然而咱实在看不懂写的是啥,题解贴这里,有兴趣的可以自己去瞅瞅,看懂了记得回来跟咱讲讲 前置芝士 \(prufer\)序列 \(prufer\)序列是个啥? 对于一棵无根树,我们找到它的标号最小的叶子,删去它,并记下与它相邻的节点的标号.重复这个过程直到树上的节点数为\(2\)为止.这个时候我们得到了一个长度为\(n-2\)的序列就是这棵无根树的\(prufer\)序列 很明显,每一棵无根…

题目 \(n\)个开关,一开始处于关闭状态,你需要将他们按成\(s\)状态,按成了之后就停止操作; 每次按下开关的i概率为\(\frac{p_i}{\sum_{i=1}^{n}p_i}\) ,问期望步数; \(1 \le n \le 100 \ , \ \sum_{i=1}^{n}p_i \le 5 \times 10^4 \ , \ p_i \ge 1\) 题解 Part 1 设\(F(x)\)表示不停按\(n\)次最后到达 $ s $ 状态的 $ EGF $ , $ G(x) $ 表示按了…