一个Catalan数的题,打表对每个数都求一次逆元会T,于是问到了一种求阶乘逆元的打表新方法. 比如打一个1~n的阶乘的逆元的表,假如叫inv[n],可以先用费马小定理什么的求出inv[n],再用递推公式求出前面的项. 我们记数字 x 的逆元为f(x) (%MOD). 因为 n! = (n-1)! * n 所以 f(n!) = f( (n-1)! * n) = f( (n-1)! ) * f(n). 所以 f( (n-1)! ) = f(n!) * f( f(n) ) = f(n!) * n  …

http://acm.xidian.edu.cn/problem.php?id=1158 解题关键:此题注意将$\sum\limits_{i = 0}^x {C_x^iC_y^{i + k}}$转化为$C_{x + y}^{x + k}$ 利用二项式定理, 一方面, ${(1 + a)^y}{(1 + \frac{1}{a})^x}$的${a^k}$项的系数,第一个二项式的${a^j}$的系数$C_y^j$,第二个二项式的${a^{ - i}}$系数为$C_x^i$,令$j - i = k$,$…

http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3324 http://blog.csdn.net/xymscau/article/details/6776182 #include<cstdio> #include<cstring> #include<string> #include<queue> #include<iostream> #include<algorit…

首先以一维随机游走(1D Random Walks)为例来介绍下随机游走(Random Walks)算法,如下图所示,从某点出发,随机向左右移动,向左和向右的概率相同,都为1/2,并且到达0点或N点则不能移动,那么如何求该点到达目的地N点的概率. 该问题可以描述为如下数学形式: P(0) = 0 P(N) = 1 P(x) = 1/2*P(x - 1) + 1/2*P(x + 1) for x = 1, 2, 3, … , N-1 如果用矩阵形式描述,即: 那么通过求解该线性方程组就可以得到各个…

卡特兰数 Catalan数 ( ACM 数论 组合 ) Posted on 2010-08-07 21:51 MiYu 阅读(13170) 评论(1)  编辑 收藏 引用 所属分类: ACM ( 数论 ) .ACM_资料 .ACM ( 组合 ) 维基百科资料: 卡塔兰数 卡塔兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列.由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名. 卡塔兰数的一般项公式为                       另类递归式:  h(n)=((4*…

题目链接 这个题推导公式跟\(Catalan\)数是一样的,可得解为\(C_{n+m}^n-C_{n+m}^{n+1}\) 然后套组合数公式\(C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\) 用阶乘分解的方法对分子和分母分解质因数然后指数相减,最后把剩下的高精度乘起来就行了,这样就避免了高精除法.可以用快速幂,但我太lan了,就直接暴力乘起来了. 说一下怎么阶乘分解,直接对每个数分解质因数的时间复杂度是\(O(n\sqrt{n})\),这显然是不可忍受的. 于是,考虑先用线筛求出\(1~…

首先以一维随机游走(1D Random Walks)为例来介绍下随机游走(Random Walks)算法,如下图所示,从某点出发,随机向左右移动,向左和向右的概率相同,都为1/2,并且到达0点或N点则不能移动,那么如何求该点到达目的地N点的概率. 该问题可以描述为如下数学形式: P(0) = 0 P(N) = 1 P(x) = 1/2*P(x - 1) + 1/2*P(x + 1) for x = 1, 2, 3, … , N-1 如果用矩阵形式描述,即: 那么通过求解该线性方程组就可以得到各个…

Problem: n个人(偶数)排队,排两行,每一行的身高依次递增,且第二行的人的身高大于对应的第一行的人,问有多少种方案.mod 1e9+9 Solution: 这道题由1,2,5,14 应该想到Catalan数,但是我却花了两个小时去找递推式. 首先 Catalan数 : 基本规律:1,2,5,14,42,132,.......... 典型例题: 1.多边形分割.一个多边形分为若干个三角形有多少种分法. C(n)=∑(i=2...n-1)C(i)*C(n-i+1) 2.排队问题:转化为n个人…

先看2个问题: 问题一: n个元素进栈(栈无穷大),进栈顺序为1,2,3,....n,那么有多少种出栈顺序? 先从简单的入手:n=1,当然只有1种:n=2,可以是1,2  也可以是2,1:那么有2种:n=3,可以是1,2,3或1,3,2或2,1,3或2,3,1或3,2,1:一共5种:容易联想到可能有一个通项公式可以求:(扯一点,以前学栈的时候做过判断一个序列是否为合法的出栈顺序的题目,只要依次检查序列,对于一个元素i,在i后面出来的且序号比i小的肯定是从大到小出来的,比如 4 2 1 3,如果4…

一.catalan数由来和性质 1)由来 catalan数(卡塔兰数)取自组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列.以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名. 卡塔兰数的一般项公式为 令其为h(n)的话,满足h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2) 我们从中取出的Cn就叫做第n个Catalan数,前几个Catalan数是:1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862,…

转载请注明来自souldak,微博:@evagle 怎么样才是合法的组合? 只要每一时刻保证左括号的数目>=右括号的数目即可. 直接递归就行,每次递归加一个括号,左括号只要还有就能加,右括号要保证加进去之后右括号总数不大于左括号总数 void insert_parentheses(char *res, int l, int r){ if(l==0&&r==0) cout<<res; else{ if(l>0){ res[n-l-r]='('; insert_pare…

Catalan数——卡特兰数 今天阿里淘宝笔试中碰到两道组合数学题,感觉非常亲切,但是笔试中失踪推导不出来后来查了下,原来是Catalan数.悲剧啊,现在整理一下 一.Catalan数的定义令h(1)=1,Catalan数满足递归式:h(n) = h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1),n>=2该递推关系的解为:h(n) = C(2n-2,n-1)/n,n=1,2,3,...(其中C(2n-2,n-1)表示2n-2个中取n-1个的组合数) 问题描…

都是数学题 思维最重要,什么什么数都没用,DP直接乱搞(雾.. 参考LH课件,以及资料:http://daybreakcx.is-programmer.com/posts/17315.html 做到有关的题目会更新 n个乒乓球放到m个盒子里的方案数 1.球相同,盒子不同,不允许空 分成m段,n-1个空选m-1个放隔板 ,$\binom{n-1}{m-1}$ 2.球相同,盒子不同,允许空 $(1)$ 加入m个球变成不允许空 $(2)$ m-1个隔板和球放在一起,从中选m-1个做隔板 $C_{n+m…

1485: [HNOI2009]有趣的数列 Description 我们称一个长度为2n的数列是有趣的,当且仅当该数列满足以下三个条件: (1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{ai}: (2)所有的奇数项满足a1<a3<…<a2n-1,所有的偶数项满足a2<a4<…<a2n: (3)任意相邻的两项a2i-1与a2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项,即:a2i-1<a2i. 现在的任务是:对于给定的n,请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列.因为最后的答…

1856: [Scoi2010]字符串 Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 64 MBSubmit: 1418  Solved: 790[Submit][Status][Discuss] Description lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务,任务需要他把n个1和m个0组成字符串,但是任务还要求在组成的字符串中,在任意的前k个字符中,1的个数不能少于0的个数.现在lxhgww想要知道满足要求的字符串共有多少个,聪明的程序员们,你们能帮助他吗? Input…

How Many Trees? Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 3317    Accepted Submission(s): 1922 Problem Description A binary search tree is a binary tree with root k such that any node v r…

Catalan数 前10项 \(1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862\) (注:从第\(0\)项起) 计算式 \(C_n=\frac{1}{n+1}\dbinom{2n}{n}\) \(C_{n+1}=\sum_{i=0}^nC_iC_{n-i}\) \(C_n=\dbinom{2n}{n}-\dbinom{2n}{n-1}\) \(C_n=\frac{4n-2}{n+1}C_{n-1}\) 组合意义 1.由\(n\)个\(+1\)和\(n\)个\(-1\)构成的\(2…

Train Problem II Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 10372    Accepted Submission(s): 5543 Problem Description As we all know the Train Problem I, the boss of the Ignatius Train Sta…

Catalan数首先是由Euler在精确计算对凸n边形的不同的对角三角形剖分的个数问题时得到的,它经常出现在组合计数问题中.     问题的提出:在一个凸n边形中,通过不相交于n边形内部的对角线,把n边形拆分成若干三角形,不同的拆分数目用hn表示,hn即为Catalan数.例如五边形有如下五种拆分方案(图3-14),故h5=5.求对于一个任意的凸n边形相应的hn.   Catalan数是比较复杂的递推关系,尤其在竞赛的时候,选手很难在较短的时间里建立起正确的递推关系.当然,Catalan数类的问…

作者:寒小阳 时间:2013年9月. 出处:http://blog.csdn.net/han_xiaoyang/article/details/11938973. 声明:版权所有,转载请注明出处,谢谢. 0.前言 当年博主自己参加校招笔试面试时就遇到过几次catalan数相关的题目,今年又到了互联网招聘季,翻看下近期各大公司的笔试面试题,发现它依旧是很容易被考察的点.尴尬的是,博主自己觉得catalan数相关的题目不好归类到某种具体的数据结构或者算法里面(计算catalan数的那个小程序不算算法…

全是入门的一些东西.基本全是从别处抄的. 栈: 支持单端插入删除的线性容器. 也就是说,仅允许在其一端加入一个新元素或删除一个元素. 允许操作的一端也叫栈顶,不允许操作的一端也叫栈底. 数个箱子相叠就可以认为是一个栈,只能在最顶端加入一个新箱子或拿走一个箱子. 栈中的元素遵循后进先出(last in first out,LILO)的规律.即:更早出栈的元素,应为更早入栈者. 这是一个演示: 奇数行为栈中元素(右端可以进行插入删除),元素以逗号隔开, EMPTY表示栈为空 偶数行为进行的操作 EM…

组合数学的实质还是DP,但是从通式角度处理的话有利于FFT等的实现. 首先推荐$Candy?$的球划分问题集合: http://www.cnblogs.com/candy99/p/6400735.html 以下部分节选自 http://blog.csdn.net/sr_19930829/article/details/40888349 第一类Stirling数 定理:第一类Stirling数$s(p,k)$计数的是把p个对象排成k个非空循环排列的方法数. 证明:把上述定理叙述中的循环排列叫做圆圈…

Catalan数列是非常奇妙的一列数字,因为很多问题的解就是一个Catalan数.知道了这一规律,很多看似复杂的问题便可迎刃而解.那么什么是Catalan数,什么样的问题的解是Catalan数呢? 1,Catalan数 先来看一段Catalan数列:1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,即 h(0)=1,h(1)=1,h(2)=2,h(3)=5... 怎么求出来的呢?两种方式 (1) h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-…

题目描述 lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务,任务需要他把n个1和m个0组成字符串,但是任务还要求在组成的字符串中,在任意的前k个字符中,1的个数不能少于0的个数.现在lxhgww想要知道满足要求的字符串共有多少个,聪明的程序员们,你们能帮助他吗? 输入 输入数据是一行,包括2个数字n和m 输出 输出数据是一行,包括1个数字,表示满足要求的字符串数目,这个数可能会很大,只需输出这个数除以20100403的余数 样例输入 2 2 样例输出 2 题解 数论-Catalan数 如果n=m,那么…

题目描述 Description 栈是计算机中经典的数据结构,简单的说,栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表. 栈有两种最重要的操作,即pop(从栈顶弹出一个元素)和push(将一个元素进栈). 栈的重要性不言自明,任何一门数据结构的课程都会介绍栈.宁宁同学在复习栈的基本概念时,想到了一个书上没有讲过的问题,而他自己无法给出答案,所以需要你的帮忙 宁宁考虑的是这样一个问题:一个操作数序列,从1,2,一直到n(图示为1到3的情况),栈A的深度大于n. 现在可以进行两种操作, 1.将一个数,从操…

题意 挺简洁的. 我们称一个长度为2n的数列是有趣的,当且仅当该数列满足以下三个条件: (1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{ai}: (2)所有的奇数项满足a1<a3<…<a2n-1,所有的偶数项满足a2<a4<…<a2n: (3)任意相邻的两项a2i-1与a2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项,即:a2i-1<a2i. 现在的任务是:对于给定的n,请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列.因为最后的答案可能很大,所以只要求输出答案 mod P的值.…

概要 在一些面试的智力题中会遇到此数的变形,如果完全不了解,直接想结果是很困难的,故在此简单介绍一下.   基本定义 Catalan 数的定义根据不同的应用环境有很多不同的定义方式,下面给出一个.   Catalan 数:一个凸 \(n\) 边形,通过不相交于 \(n\) 边形内部的对角线,把 \(n\) 边形拆分成若干三角形,不同拆分的数目用 \(f(n)\) 表示,即称为 Catalan 数. 例如下五边形: 有 \(f(5) = 5\). 它有以下的递推关系: \begin{align}…

Catalan数——卡特兰数 今天阿里淘宝笔试中碰到两道组合数学题,感觉非常亲切,但是笔试中失踪推导不出来后来查了下,原来是Catalan数.悲剧啊,现在整理一下 一.Catalan数的定义令h(1)=1,Catalan数满足递归式:h(n) = h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1),n>=2该递推关系的解为:h(n) = C(2n-2,n-1)/n,n=1,2,3,...(其中C(2n-2,n-1)表示2n-2个中取n-1个的组合数) 问题描…

Catalan数(卡特兰数) 卡特兰数:规定h(0)＝1,而h(1)＝1,h(2)＝2,h(3)＝5,h(4)＝14,h(5)＝42,h(6)＝132,h(7)＝429,h(8)＝1430,h(9)＝4862,h(10)＝16796,h(11)＝58786,h(12)＝208012,h(13)＝742900,h(14)＝2674440,h(15)＝9694845····················· 原理 令h(0)=1,h(1)=1,catalan数满足递推式  : h(n)= h(0)*…

出处:http://blog.sina.com.cn/s/blog_6aefe4250101asv5.html 什么是Catalan数 说到Catalan数,就不得不提及Catalan序列,Catalan序列是一个整数序列,其通项公式是我们从中取出的就叫做第n个Catalan数,前几个Catalan数是:1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 3535767…