前言 没脑子选手什么都不会. 正文 先来写一下换根 DP 的特点或应用方面: 不同的点作为树的根节点,答案不一样. 求解答案时要求出每一个节点的信息. 无法通过一次搜索完成答案的求解,因为一次搜索只能得到一个节点的答案. 下面来看一个例子: 给定一个 \(n\) 个点的无根树,问以树上哪个节点为根时,其所有节点的深度和最大. 一个显然的做法:枚举根节点然后 \(O(n)\) 暴力,复杂度 \(O(n^2)\) .能过我 CS 所以我们考虑换根 DP . 先以 \(1\) 节点为根节点算出每个点的…

换根dp 一般来说,我们做题的树都是默认 \(1\) 为根的.但是有些题目需要计算以每个节点为根时的内容. 朴素的暴力:以每个点 \(u\) 作为 \(root\) 暴力dfs下去,复杂度\(O(n^2)\): 正确的做法:换根dp,复杂度\(O(n)\). 执行步骤 第一次扫描,先默认 \(root=1\) ,跑一遍 \(dfs\): 第二次扫描,从 \(root=1\) 开始,每次从 \(u\) 到 \(v\) 节点时,计算根从 \(u\) 转移到 \(v\) 时的贡献变化. 很显然,换根d…

树形DP学习笔记 ps: 本文内容与蓝书一致 树的重心 概念: 一颗树中的一个节点其最大子树的节点树最小 解法:对与每个节点求他儿子的\(size\) ,上方子树的节点个数为\(n-size_u\) ,求对于每个节点子树的最大值,找出最小的那个就好了; (我觉得就不需要code了) 树的直径 概念:一颗带权树的最长路径 解法:维护一个节点到叶子节点的最大距离\(d1[i]\)和次大距离\(d2[i]\) ,最大距离就是$max {d1[i]+d2[i] } $ code #include<ios…

题意 给定一棵 \(n\) 个节点的树,可以断掉一条边再连接任意两个点,询问新构成的树的直径的最小和最大值. \(n\leq 5\times 10^5\) . 分析 记断掉一条边之后两棵树的直径为 \(A,B\) ,最长直径为 \(A+B+1\) 最短为 \(\max\{A\ ,B\ ,\lceil \frac{A}{2}\rceil+\lceil \frac{B}{2} \rceil +1\}\) . 维护每个点不同子树的前3长链和向上的最长链.不同子树的前2长路径和向上子树的最长路径. 这样…

数位DP学习笔记 什么是数位DP? 数位DP比较经典的题目是在数字Li和Ri之间求有多少个满足X性质的数,显然对于所有的题目都可以这样得到一些暴力的分数 我们称之为朴素算法: for(int i=l_i;i<=r_i;i++) if(check(i)) ans++; return ans; 所有的算法都是为了减少运算步骤这一个基本原理来优化的,我们考虑这样暴力的优化,显然数的位数上面满足X性质,有些时候X性质并不是单单对于一个数的个体进行限制的 而是在某个限定区域里面的所有数字有一个X的限制,这…

传送门 换根dp入门题. 貌似李煜东的书上讲过? 不记得了. 先推出以1为根时的答案. 然后考虑向儿子转移. 我们记f[p]f[p]f[p]表示原树中以ppp为根的子树的答案. g[p]g[p]g[p]表示把根换成ppp时整棵树的答案. 于是有g[v]=f[v]+min(g[p]−min(e[i].c,f[v]),e[i].c)g[v]=f[v]+min(g[p]-min(e[i].c,f[v]),e[i].c)g[v]=f[v]+min(g[p]−min(e[i].c,f[v]),e[i].c…

DP学习笔记 可是记下来有什么用呢?我又不会 笨蛋你以后就会了 完全背包问题 先理解初始的DP方程: void solve() { for(int i=0;i<;i++) for(int j=0;j<=w;j++) for(int k=0;k*w[i]<=j;k++) dp[i+1][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i]); } 其中:k*w[i]<=j是指:如果当前的物品小于背包容量,则选择该物品 dp[i+1][j]=max(dp[i…

P3761 [TJOI2017]城市 题目描述 从加里敦大学城市规划专业毕业的小明来到了一个地区城市规划局工作.这个地区一共有ri座城市,<-1条高速公路,保证了任意两运城市之间都可以通过高速公路相互可达,但是通过一条高速公路需要收取一定的交通费用.小明对这个地区深入研究后,觉得这个地区的交通费用太贵.小明想彻底改造这个地区,但是由于上司给他的资源有限,因而小明现在只能对一条高速公路进行改造,改造的方式就是去掉一条高速公路,并且重新修建一条一样的高速公路(即交通费用一样),使得这个地区的两个城市…

一道很好的换根dp题.考场上现场yy十分愉快 给定树,求每个点的到其它所有点的距离异或上m之后的值,n=100000,m<=16 只能线性复杂度求解,m又小得奇怪.或者带一个log像kx一样打一个线段树 我们可以发现,m小的话对距离很大的路径的影响也不会超过16. 那么变化的其实就是最后4个二进制位啊. 所以我们像普通的换根dp一样求出所有距离,在额外处理一下以p为端点的全部路径里路径长度%16之后的值为k的有多少个 设为bits2[k][p] 因为换根dp的主要思路是两遍dfs,第一次处理每个…

题意 ​ 题目链接:https://www.luogu.org/problem/P4827 ​ 给定一棵 \(n\) 个节点的树和一个常数 \(k\) ,对于树上的每一个节点 \(i\) ,求出 \(\displaystyle \sum_{i=1}^n{\rm dist}^k(i,j)\),其中 \(\rm{dist}\) 函数表示树上两点距离. ​ \(1 \leq n \leq 50000\) ​ \(1\leq k \leq 150\) 思路 ​ 看到求答案 \(k\) 次方的问题,应该联…

题目链接 传送门 题意 两个绝顶聪明的人在树上玩博弈,规则是轮流选择下一个要到达的点,每达到一个点时,先手和后手分别获得\(a_i,b_i\)(到达这个点时两个人都会获得)的权值,已经经过的点无法再次经过,直到无法移动则结束游戏,两人都想最大化自己的权值和减对手权值和,问先手减后手权值和最大是多少. 思路 换根\(DP\),和求树的直径有点类似. \(dp[i][j]\)表示在\(i\)这个结点状态为\(j\)时先手权值和减后手权值和最优是多少,\(j\)为偶数表示当前是先手,为奇数时为后手.…

题意:给定一颗树,树上每个点通电概率为 $q[i]$%,每条边通电的概率为 $p[i]$%,求期望充入电的点的个数. 期望在任何时候都具有线性性,所以可以分别求每个点通电的概率(这种情况下期望=概率 $\times 1$ )然后累加. 然而,直接求通电的概率不是很好求,所以可以求不通电的概率,然后 $1$ 减去这个就是通电的概率了~ 先假定以 $1$ 为根,令 $f[i]$ 表示仅考虑 $i$ 的子树及 $i$ 的影响时 $i$ 充不到电的概率. 则有: $f[i]=(1-q[i])\prod_…

题目传送门 题意: 给定一棵n个点的边权为0或1的树,一条合法的路径(x,y)(x≠y)满足,从x走到y,一旦经过边权为1的边,就不能再经过边权为0的边,求有多少边满足条件? 思路: 首先,这道题也可以用并查集的做法过,点这里 那换根dp怎么写呢? 设$f[u]$为以1为根,自下而上到$u$的末节点是1的合法路径数量,$g[u]$代表以1为根,自下而上到$v$末节点是0的合法路径数量,这个可以通过一遍dfs简单求解. 再设$nf[u]$和$ng[u]$代表以u为根的两种合法路径数量,进行换根df…

Online Judge:Bzoj3743 Label:换根Dp,维护最长/次长链 题目描述 一颗树n个点,n-1条边,经过每条边都要花费一定的时间,任意两个点都是联通的. 有K个人(分布在K个不同的点)要集中到一个点举行聚会. 聚会结束后需要一辆车从举行聚会的这点出发,把这K个人分别送回去. 请你回答,对于i=1~n,如果在第i个点举行聚会,司机最少需要多少时间把K个人都送回家. 输入 第一行两个数,n,K. 接下来n-1行,每行三个数,x,y,z表示x到y之间有一条需要花费z时间的边. 接下…

正解:换根$dp$ 解题报告: 传送门! 谁能想到$9102$年了$gql$居然还没写过换根$dp$呢,,,$/kel$ 考虑固定了从哪个点开始之后,以这个点作为根,蓝线只可能是直上直下的,形如"父-子-孙"这样的. 所以先考虑一个$O(n^2)$的做法,就枚举根节点,然后跑个$dfs$,设$f_{i,1}$表示点$i$是蓝线上"子"的最大答案,$f_{i,0}$表示点$i$不是蓝线上"zi"的最大答案 然后对于$f_{i,0}$,它不是&quo…

传送门:http://poj.org/problem?id=3585 题意:给定一张无根图,给定每条边的容量,随便取一点使得从这个点出发作为源点,发出的流量最大,并且输出这个最大的流量. 思路:最近开始做树形DP这部分的题,发现存图部分不是太会,这道题需要用到邻接表存图,不熟悉的朋友可以见我的另一篇博客:https://blog.csdn.net/weixin_43820920/article/details/98610704 言归正传,这道题算是换根DP的裸题了,就是先随便找一个点做为根结点(…

传送门 换根dp板子题(板子型选手 题意: 一棵树确定源点和汇点找到最大的流量(拿出一整套最大瘤板子orz ; int head[maxn],tot; struct node { int nt,to;long long w; }q[*maxn]; long long dp[maxn];int cnt[maxn]; void insert(int u,int v,long long w) { q[tot].nt=head[u];q[tot].w=w;q[tot].to=v;head[u]=tot+…

换根dp,一般用来解决在无根树上,需要以每个节点为根跑一边dfs的dp问题 我们做两遍dfs 先钦定任意一个点为根 第一遍,算出\(f_i\)表示\(i\)的子树产生的答案,这里,子树指的是以我们钦定的那个点为根的有根树上的子树 这是从下向上的转移,也是一般树上dp的常规操作 第二遍,我们要算出真正的答案 这次是对于无根树中的子树,在第一遍dfs中,\(f_i\)已经包含了\(i\)所有"向下"的子树的贡献,那剩下的一棵子树是以它为根并向上连向它父亲的 设\(i\)的父亲是\(fa\)…

洛谷 P4284 [SHOI2014]概率充电器 概率与期望+换根DP 题目描述 著名的电子产品品牌\(SHOI\) 刚刚发布了引领世界潮流的下一代电子产品-- 概率充电器: "采用全新纳米级加工技术,实现元件与导线能否通电完全由真随机数决 定!\(SHOI\) 概率充电器,您生活不可或缺的必需品!能充上电吗?现在就试试看 吧!" \(SHOI\) 概率充电器由\(n-1\) 条导线连通了\(n\) 个充电元件.进行充电时,每条导 线是否可以导电以概率决定,每一个充电元件自身是否直接进…

题目背景 小奇采的矿实在太多了,它准备在喵星系建个矿石仓库.令它无语的是,喵星系的货运飞船引擎还停留在上元时代! 题目内容 喵星系有\(n\)个星球,星球以及星球间的航线形成一棵树. 从星球\(a\)到星球\(b\)要花费\([\text{dis}(a,b)\ \text{xor}\ M]\)秒.(\(\text{dis}(a,b)\)表示ab间的航线长度,\(\text{xor}\)为位运算中的异或) 为了给仓库选址,小奇想知道,星球\(i(1\leq i\leq n)\)到其它所有星球花费的…

题面 https://www.luogu.com.cn/problem/P5024 分析 可以对有限制的点对之间的链进行在倍增上的DP数组合并. 需要通过一次正向树形DP和一次换根DP得到g[0][i][0/1]表示以i为根的子树中i为0/1的最小代价和g[1][i][0/1]表示整棵树除了以i为根的子树i为0/1的最小代价. 然后倍增数组上减去儿子方向的DP值进行预处理.倍增数组f[i][0/1][0/1][j]表示i向上跳$2^{j}$ 次,i的状态为0/1,跳到的祖先的状态为0/1的DP值…

Codeforces 题面传送门 & 洛谷题面传送门 换根 dp 好题. 为啥没人做/yiw 首先 \(n\) 为奇数时答案显然为 \(0\),证明显然.接下来我们着重探讨 \(n\) 是偶数的情况. 考虑一棵树存在完美匹配的等价证明:我们考察每一条边,如果删掉该条边后两个连通块的大小都是奇数,那么显然我们如果贪心地对两个连通块进行二分图完美匹配,如果还剩至少三个点没被匹配,那么显然原图不存在二分图完美匹配,否则我们肯定会剩下该连通块的根节点,也就是这条边的一个端点.换句话,如果原图存在二分图完…

Codeforces 题面传送门 & 洛谷题面传送门 一种换根 dp 的做法. 首先碰到这类题目,我们很明显不能真的把图 \(G\) 建出来,因此我们需要观察一下图 \(G\) 有哪些性质.很明显我们可以把它看作 \(T_1,T_2\) 上分别有一个标记,每次可以将 \(T_1,T_2\) 上的某个标记沿着某条边移动一步,问 \(k\) 步之后标记刚好回到原位的方案数是多少. 显然两棵树是独立的,因此可以分开来考虑,我们记 \(dp1_{i,j}\) 表示 \(T_1\) 中从 \(i\) 开始…

题面传送门 Emmm--这题似乎做法挺多的,那就提供一个想起来写起来都不太困难的做法吧. 首先不难想到一个时间复杂度 \(\mathcal O(n^2)\) 的做法:对于每个黑点我们以它为根求出离它距离最远的点集 \(S\),那么一个白点能够摧毁这个黑点当且仅当这个白点在黑点到点集 \(S\) 中的点的 \(\text{LCA}\) 的路径上.这样我们就可以求出所有白点的答案了. 考虑优化这个过程,注意"以每个点为根"一脸可用换根 \(dp\) 优化的亚子,因此考虑换根 \(dp\),…

题面 题解 先解决第一个子问题吧,它才是难点 Subtask_1 我们可以先用一个简单的树形DP处理出每棵树内部的dis和,记为dp0[i], 然后再用一个换根的树形DP处理出每棵树内点 i 到树内每个点的距离和,记为dp[i], 好,现在分两个连通块跟三个连通块两种情况讨论 两个连通块 把两棵树A,B合并到一起,我们得先确定两个连接的点, 若其分别为 i,j,不难发现答案就是 dp0[A] + dp0[B] + dp[i] * size[B] + dp[j] * size[A] + size[…

题面 题解 删一条边.加一条边,相当于把一个子树折下来,然后嫁接在一个点上, 那么最优的情况肯定是接在根上,对吧,很好理解吧 那么这个拆下来的子树大小就不能超过n/2. 我们用son[]来表示每个点为根的子树大小, 如果一个点x可以改造后变成重心,那么要么它本来就是重心,要么它最多只有一个儿子y的son[y]大于n/2,并且y的子树大小可以通过改造变得<=n/2. 要改造一个儿子的子树,最优的方法就是减去里面最大的小于等于n/2的子子树,我们用dp1[]来表示一个点的子树里这样一个子子树的大小,…

[BZOJ3677][Apio2014]连珠线 Description 在列奥纳多·达·芬奇时期,有一个流行的童年游戏,叫做“连珠线”.不出所料,玩这个游戏只需要珠子和线,珠子从1到礼编号,线分为红色和蓝色.游戏开始时,只有1个珠子,而接下来新的珠子只能通过线由以下两种方式被加入: 1．Append(w,杪):-个新的珠子w和一个已有的珠子杪连接,连接使用红线. 2．Insert(w,u,v):-个新的珠子w加入到一对通过红线连接的珠子(u,杪)之间,并将红线改成蓝线.也就是将原来u连到1的红线…

换根都不会了 题目大意 给定一棵$n$个点的树和树上一撮关键点,求到所有$m$个关键点距离的最大值$dis_{max}\le LIM$的点的个数. $n,m\le 30000,LIM\le 30000$ 题目分析 考虑在求出一个点的情况下如何转移到其子节点. 对点$u$最直接关心的状态是$mx[u]$:所有关键点到$u$的最大距离. 对点$u$的子节点$v$来说,$u$能带给它的只是“外面的世界”——$v$子树的补集这块贡献,也就是对于$u$的除了$v$子树的$mx[u]$. 因为$mx[u]$…

题目传送门 题意 给出一棵树,树上的边都有容量,在树上任意选一个点作为根,使得往外流(到叶节点,叶节点可以接受无限多的流量)的流量最大. 分析 首先,还是从1号点工具人开始$dfs$,可以求出$dp[i]$为点$i$向它的子树中可以获得的最大流量. 接下来考虑换根,设$f[i]$是以$i$为根节点的答案(向它的所有根节点能够发射的最大流量之和) 考虑把根从$u$换到$v$,$v$自己子树内的答案$dp[v]$肯定是在$f[v]$之内的 经过了$u-v$这条边的答案就是$min(f[u]-min(…

Problem Description Acesrc is a famous tourist at Nanjing University second to none. During this summer holiday, he, along with Zhang and Liu, is going to travel to Hong Kong. There are n spots in Hong Kong, and n−1 bidirectional sightseeing bus rout…