利用powerful number求积性函数前缀和

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利用powerful number求积性函数前缀和

好久没更博客了,先水一篇再说.其实这个做法应该算是杜教筛的一个拓展. powerful number的定义是每个质因子次数都 $\geq 2$ 的数.首先,$\leq n$ 的powerful number个数是 $O(\sqrt{n})$ 的,这是因为所有powerful number显然可以表示成 $a^2b^3$,所以个数不超过 $\sum_{i=1}^{\sqrt{n}} (n/i^2)^{1/3}$,积分积一下就算出来了.求所有 $\leq n$ 的powerful number只要暴…

powerful number求积性函数前缀和

算法原理本文参考了 zzq's blog . $\text{powerful number}$ 的定义是每个质因子次数都 $\ge 2$ 的数,有个结论是 $\ge n$ 的 $\text{powerful number}$ 只有 $\mathcal O(\sqrt n)$ 个,如何找这些数呢?用暴力 $\text{dfs}$ 从小到达枚举质因子及其幂次即可(类似于 $\text{min_25}$ 第二部分). 比如对于函数 $F(p^q) = p^k$ 其中…

【Learning】积性函数前缀和——洲阁筛（min_25写法）

问题描述洲阁筛解决的问题主要是$n$范围较大的积性函数前缀和. 已知一积性函数$f(i)$,求$\sum_{i=1}^nf(i)$. $n\leq10^{12}$. 求解方法如果$f(i)$在质数处的取值比较简单,那么可以运用洲阁筛来求解. 我们需要两个辅助数组. $g_{i,j}$ 定义如下: \[ \begin{aligned} g_{i,j}&=\sum_{k=2}^i[k与p_1,p_2,...,p_j互质或就是其中某个质数]\; s(k)\\ &…

Mobius反演与积性函数前缀和演学习笔记 BZOJ 4176 Lucas的数论 SDOI 2015 约数个数和

下文中所有讨论都在数论函数范围内开展. 数论函数指的是定义域为正整数域, 且值域为复数域的函数. 数论意义下的和式处理技巧因子 \[ \sum_{d | n} a_d = \sum_{d | n} a_{\frac n d} \] 双重因子 \[ \sum_{k | n} \sum_{j | k} a_{k, j} = \sum_{k | n} \sum_{j | \frac n k} a_{jk, k} \] \[ \sum_{n | k} \sum_{k | j} a_{k, j} = \…

A New Function（LightOJ 1098）积性函数前缀和的应用

题意:要求对于1~n,每个数的约数(不包括1和其本身)的和. 题解:由于题目数据有2*10^9之大,因而不能直接暴力.需要考虑积性函数的特性,由于必定有重复的约数出现,因而可以对重复约数所在的区间进行合并.由于对于较小的约数,其对应的较大的约数重复区间较小,所以可以先将较小的约数进行合并操作,然后对其对应的较大的约数的区间进行求和.以n=10为例,对于约数2而言,1~10中有2的约数的有10/2-1个(要减去2本身),而对于2在1~10内相对应的约数4和5,则可以直接进行求和操作,求和区间为[s…

Powerful Number 学习笔记

定义对于一个正整数 $n$ ,若完全分解之后不存在指数 $=1$ ,则称 $n$ 为 $\text{Powerful Number}$ . 可以发现的是,在 $[1,n]$ 中,$\text{Powerful Number}$ 的数量是 $\sqrt n$ 级别的. Powerful Number 在求积性函数前缀和中的应用假设给出积性函数 $f(x)$ 要求 $\sum_{i=1}^{n} f(i)$,我们可以考虑引入一个拟合函数 $g(x)$ 使得…

[笔记] Powerful Number 筛

定义 Powerful Number(以下简称 PN)筛类似于杜教筛,可以拿来求一些积性函数的前缀和. 要求: 假设现在要求积性函数 $f$ 的前缀和 $F(n)=\sum_{i=1}^nf(i)$,需要存在一个函数 $g$ 满足: $g$ 是积性函数. $g$ 易求前缀和. 对于质数 $p$,$g(p)=f(p)$ . Powerful Number 定义:每个质因子次数都 $≥2$ 的数. 性质: 所有的 PN 都可以表示成 $a^2b^3$. $n$…