传送门 题目大意 求出\(n\)个点的简单(无重边无自环)有标号无向连通图数目.\(n\leq 130000\). 题解 题意非常简单,但做起来很难.这是道生成函数经典题,博主当做例题学习用的.博主看到题解后感到非常惊讶:生成函数还能这么玩! 步入正题.首先我们要定义生成函数\(F(x)=\sum\limits_{i\geq 0}f_i\dfrac{x^i}{i!}\),其中\(f_i\)表示\(i\)个点无向连通图数目. 定义生成函数\(G(x)=\sum\limits_{i\geq 0}\d…

题目 令\(f_i\)表示n个点的答案.考虑容斥,用所有连边方案减去有多个连通块的方案.枚举1号点所在的连通块大小: \(f_i=2^{i(i-1)/2}-\sum_{j>0}^{i-1}f_j \binom{i-1}{j-1}2^{(i-j)(i-j-1)/2}\) \(\binom{i-1}{j-1}\)表示1号点必须在选出的连通块中,剩下的i-1个点中再选出j-1个.\(2^{(i-j)(i-j-1)/2}\)是剩下的点随意连边,但不跟选出的连通块连边的方案数. \[\begin{alig…

Description 求\(n\)个点无重边.无自环.带标号的无向联通图个数,对\(1004535809\)(\(479 \times 2^{21} + 1\))取模.\(n \le 130000\) Solution 模数好像是在提示了......这个模数非常适合\(NTT\). 还是想题吧.首先问自己一个问题:不要求联通会不会?不会 不连通的话最多有\(\binom{n}{2}\)条边,总方案数就是这些边选不选的问题,即\(2^{\binom{n}{2}}\). 我们令不要求联通的\(n\…

题目传送门:洛谷P4396. 题意简述: 给定一个长度为\(n\)的数列.有\(m\)次询问,每次询问区间\([l,r]\)中数值在\([a,b]\)之间的数的个数,和数值在\([a,b]\)之间的不同的数的个数. 题解: 第一问可以用主席树维护,但是第二问呢? 考虑离线处理询问,用莫队算法. 问题转化为加入一个数,删除一个数,统计数值在一个区间中的数的个数. 离散化后可以用树状数组维护,但是复杂度多个log,变成了\(O(n\sqrt{n}\log n)\). 考虑对数值也分块,先离散化,然后…

\(\mathcal{Description}\)   link.   求 \(n\) 个结点的简单无向连通图个数,对 \(1004535809~(479\times2^{21}+1)\) 取模.   \(n\le1.3\times10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   很简单的一道生成函数题.做完之后可以尝试一下点双和边双连通图计数 w.   令 \(f_i\) 为 \(i\) 个结点的简单无向图个数.显然 \(f_i=2^{i\choose 2}\).则其生成函数…

P4841 城市规划 题意 n个有标号点的简单(无重边无自环)无向连通图数目. 输入输出格式 输入格式: 仅一行一个整数\(n(\le 130000)\) 输出格式: 仅一行一个整数, 为方案数 \(\bmod 1004535809\). 设\(g_i\)表示\(i\)个点的图的数目,\(f_i\)表示\(i\)个点联通图的个数 \[ g_n=f_n+\sum_{i=1}^{n-1}f_i\binom{n-1}{i-1}g^{n-i} \] 意义是联通图+非联通图,关于非联通图的方案,枚举1号点…

题意 链接 Sol Orz yyb 一开始想的是直接设\(f_i\)表示\(i\)个点的无向联通图个数,枚举最后一个联通块转移,发现有一种情况转移不到... 正解是先设\(g(n)\)表示\(n\)个点的无向图个数,这个方案是\(2^{\frac{i(i-1)}{2}}\)(也就是考虑每条边选不选) 考虑如何得到\(g\) \[g(n) = \sum_{i=0}^n C_{n-1}^{i-1}f(i) g(n-i)\] 直接将\(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\)带入然后化简一下可以得…

传送门 题意简述:求\(n​\)个点的简单无向连通图的数量\(\mod \;1004535809​\),\(n \leq 130000​\) 经典好题呀!这里介绍两种做法:多项式求逆.多项式求对数 先是多项式求逆的做法. 我们发现直接求连通图的数量并不好求,所以我们用所有图的数量\(g_n​\)减去不连通的数量,得到连通图的个数\(f_n​\). 易得\(g_n=2^{n \choose 2}​\) 考虑DP,枚举1号点所在的连通块大小,有\(f_n=g_n-\sum_{i=1}^{n-1} {…

构造简单无向图的EGF: \[ G(x)=\sum_{i}^{\infty}2^{\binom{i}{2}}\cdot\frac{x^i}{i!} \] 构造简单无向连通图的EGF: \[ F(x)=\sum_{i}^{\infty}f_i\cdot \frac{x_i}{i!} \] 由于\(G\)是由\(F​\)为元素组成的集合,则有: \[ \begin{split} G&=\sum_{i}^{\infty}\frac{F^i}{i!}\\ &=e^F\\ \end{split} \…

题目大意:求$n$个点的带标号的无向连通图的个数 题解:令$F(x)$为带标号无向连通图个数生成函数,$G(x)$为带标号无向图个数生成函数 那么$G(x) = \sum_{i=0}^{\infty} \dfrac{2^{i(i-1)/2}}{i!} x^i$ 枚举连通块个数可得$G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\dfrac{F^i(x)}{i!}$$$f(x)=f(x_0)+\dfrac{f'(x_0)(x-x_0)}{1!}+\dfrac{f''(x_0)(x-x_0)^2}…