Solution Set -「ARC 107」

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Solution Set -「ARC 107」

「ARC 107A」Simple Math Link. 答案为: \[\frac{a(a+1)\cdot b(b+1)\cdot c(c+1)}{8} \] 「ARC 107B」Quadruple Link. 枚举 $i=c+d$,则 $a+b=i+k$,乘法原理计数. 「ARC 107C」Shuffle Permutation Link. 由于矩阵内无相等元素,所以行和列的顺序可以直接乘法原理.以对行的排列方案计数为例,并查集维护所有可以交换位置的行,则行的方案…

「ARC 139F」Many Xor Optimization Problems【线性做法，踩标】

「ARC 139F」Many Xor Optimization Problems 对于一个长为 $n$ 的序列 $a$,我们记 $f(a)$ 表示从 $a$ 中选取若干数,可以得到的最大异或值. 现在给定 $n,m$,你需要对于所有长为 $n$,且 $0\le a_i<2^m$ 的序列,计算 $f(a)$ 的和. $1\le n,m\le 250000$. PS:本题解的做法可以做到 $n=10^9,m=10^7$. Solution 考虑给定序列 \(a…

Solution -「ARC 104E」Random LIS

$\mathcal{Description}$ Link. 给定整数序列 $\{a_n\}$,对于整数序列 $\{b_n\}$,$b_i$ 在 $[1,a_i]$ 中等概率随机.求 $\{b_n\}$ 中 LIS(最长上升子序列)的期望长度.对 $10^9+7$ 取模. $n\le6$,$a_i\le10^9$. $\mathcal{Solution}$ 欺负这个 $n$ 小得可爱,直接 $\mathcal O(n!)$ 枚举 \(…

Diary / Solution Set -「WC 2022」线上冬眠做噩梦

大概只有比较有意思又不过分超出能力范围的题叭. 可是兔子的"能力范围" $=\varnothing$ qwq. 「CF 1267G」Game Relics 任意一个状态可以描述为 $(m,s)$,表示剩下 $m$ 个·总价值为 $s$ 的物品未选.若当前决策为 X 操作,那么由于决策的确定性,我们必然不停 X 直到出货.所以代价为 \[\frac{x}{2}\left(\frac{n}{m}+1\right), \] 若当前决策为 C 操作,代价则为 \(\…

Solution -「ARC 101D」「AT4353」Robots and Exits

$\mathcal{Description}$ Link. 有 $n$ 个小球,坐标为 $x_{1..n}$:还有 $m$ 个洞,坐标为 $y_{1..m}$,保证上述坐标两两不同.每次操作可以将所有小球向左或向右平移一个单位,若有小球的坐标与洞重合则掉进洞内.求所有小球都进洞时有多少种不同的状态.答案对 $(10^9+7)$ 取模. $n,m\le10^5$. $\mathcal{Solution}$ ARC 的题嘛--都这副德行.( 不考虑…

Solution -「ARC 110D」Binomial Coefficient is Fun

$\mathcal{Description}$ Link. 给定非负整数序列 $\{a_n\}$,设 $\{b_n\}$ 是一个非负整数序列且 $\sum_{i=1}^nb_i\le m$,求 \[\sum_{\{b_n\}}\prod_{i=1}^n\binom{b_i}{a_i}\bmod(10^9+7) \] $n,a_i\le2\times10^3$. $\mathcal{Solution}$ 鉴于这是 ARC D,可以直观感受到是一个代码不长的组…

Solution -「ARC 124E」Pass to Next

$\mathcal{Description}$ Link. 有 $n$ 个人站成一个环,初始时第 $i$ 个人手里有 $a_i$ 个球.第 $i$ 个人可以将自己手中任意数量的求给第 $i+1$ 个人,第 $n$ 个人则可以给第 $1$ 个人.设所有人同时进行一次传球后,第 $i$ 个人手里有 $b_i$ 个球,并令 $B$ 为所有可能的 $\lang b_n\rang$ 构成的集合,求 \[ \sum_{\lang b_n \rang\i…

Solution -「ARC 126E」Infinite Operations

$\mathcal{Description}$ Link. 给定序列 $\{a_n\}$,定义一次操作为: 选择 $a_i<a_j$,以及一个 $x\in\mathbb R_+$,使得 $a_i+x\le a_j-x$: 令 $a_i\leftarrow a_i+x,a_j\leftarrow a_j-x$,本次操作的得分为 $x$. 定义序列的得分为进行任意次操作能得到的最大得分和,现给定 $m$ 次形如 $a_x\leftarrow y$ 的修…

Solution -「ARC 126F」Affine Sort

$\mathcal{Description}$ Link. 给定 $\{x_n\}$,令 \[f(k)=\left|\{(a,b,c)\mid a,b\in[0,c),c\in[1,k],\left(\forall i\in[1,n),(ax_i+b)\bmod c<(ax_{i+1}+b)\bmod c\right)\}\right| \] 求出 \[\lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{f(k)}{k^3}\bmod 998244353. \] …

Solution -「ARC 125F」Tree Degree Subset Sum

$\mathcal{Description}$ Link. 给定含有 $n$ 个结点的树,求非负整数对 $(x,y)$ 的数量,满足存在 $\exist S\subseteq V,~|S|=x\land\sum_{u\in S}d_u=y$,其中 $d_u$ 表示点 $u$ 的度数. $n\le2\times10^5$. $\mathcal{Solution}$ 方便期间,以下所有 $d_u$ 表示 $u$ 的度数 $-1$. 出题…

Solution -「ARC 125E」Snack

$\mathcal{Description}$ Link. 把 $n$ 种零食分给 $m$ 个人,第 $i$ 种零食有 $a_i$ 个:第 $i$ 个人得到同种零食数量不超过 $b_i$,总数量不超过 $c_i$,求最多分出的零食数量. $n,m\le2\times10^5$. $\mathcal{Solution}$ 很容易看出这是网络流模型: 源点 $S$ 连向每种零食 $i$,容量 $a_i$: 零食 $i$ 连向人…

Solution -「ARC 058C」「AT 1975」Iroha and Haiku

$\mathcal{Description}$ Link. 称一个正整数序列为"俳(pái)句",当且仅当序列中存在连续一段和为 $x$,紧接着连续一段和为 $y$,再紧接着连续一段和为 $z$,其中 $x,y,z$ 为给定正整数.计数长度为 $n$,元素大小不超过 $10$ 的俳句. $n\le40$,$x+y+z\le17$. $\mathcal{Solution}$ 通过俳句的特征(连续三段和的限制)来正向计数会重复:一个俳…

Solution -「ARC 101E」「AT 4352」Ribbons on Tree

$\mathcal{Description}$ Link. 给定一棵 $n$ 个点的树,其中 $2|n$,你需要把这些点两两配对,并把每对点间的路径染色.求使得所有边被染色的方案数,对 $10^9+7$ 取模. $n\le5000$. $\mathcal{Solution}$ 容斥,令 $f(S)$ 表示钦定边集 $S$ 全部为被覆盖的方案数.显然答案为: \[\sum_{S\subseteq E}(-1)^{|S|}f(S) \] $S$…

Solution -「ARC 110F」Esoswap

$\mathcal{Description}$ Link. 给定 $0\sim n-1$ 的排列 $p_{0..n-1}$,每次操作给出 $i$,交换 $p_i$ 和 $p_{(i+p_i)\bmod n}$.构造一种使排列升序的操作序列. $n\le100$. $\mathcal{Solution}$ 反正兔子就一个样例观察法,一个暴力伪解拍上去就 AC 了.( 先讲讲我的伪解,观察样例解释: First, announce $i=6$.…

Solution -「ARC 110E」Shorten ABC

$\mathcal{Description}$ Link. 给定长度为 $n$,包含 A, B, C 三种字符的字符串 $S$,定义一次操作为将其中相邻两个不相同的字符替换为字符集中不同于这两个字符的另一种字符.求任意次操作后得到的不同字符串个数,答案对 $10^9+7$ 取模. $n\le10^6$. $\mathcal{Solution}$ 我们希望探究此种替换操作的结合性,trick 为将字符集替换为数字集,将操作表达为数字间的运算.对于本题,令 A…

Solution -「ARC 082D」Sandglass

$\mathcal{Description}$ Link. 一个沙漏内共 $Xg$ 沙,令初始时上半部分为 A,下半部分为 B.沙漏在 $r_1,r_2,\cdots,r_n$ 时刻会被瞬间翻转.$q$ 次询问,每次询问给出 $(t,a)$,求初始时 A 有 $ag$ 沙,$t$ 时刻时 A 内沙的质量.保证 $r_{1..n},t_{1..q}$ 升序. $n,q\le10^5$. $\mathcal{Solution}$ 显然,随着初始…

Solution -「ARC 063D」「AT 2149」Snuke's Coloring 2

$\mathcal{Decription}$ Link. 平面上有一个左下角坐标 $(0,0)$ 右上角坐标 $(W,H)$ 的矩形,起初长方形内部被涂白. 现在给定 $n$ 个点,你每次在以下 $4$ 种操作中选择一种: 将矩形内 $x<x_i$ 的区域涂黑: 将矩形内 $x>x_i$ 的区域涂黑: 将矩形内 $y<y_i$ 的区域涂黑: 将矩形内 $y>y_i$ 的区域涂黑. 最大化操作后白色矩阵周长. \(n\le3\tim…

Solution -「ARC 104F」Visibility Sequence

$\mathcal{Description}$ Link. 给定 $\{x_n\}$,对于满足 $h_i\in[1,x_i]$ 的序列 $\{h_n\}$,定义序列 $\{p_n\}$ 满足: \[p_i=\begin{cases}-1,&(\not\exist j<i)(h_j>h_i)\\\max_{j<i}\{j|h_j>h_i\},&\text{otherwise}\end{cases} \] 求所有可能出现的本质不同的 \(…

Solution -「ARC 104D」Multiset Mean

$\mathcal{Description}$ Link. 读题时间≈想题时间,草.( 给定 $N,K,M$,对于每个 $x\in[1,N]$ 的整数 $x$,统计多重集 $\{s\}$ 的个数,使得集合元素的平均数为 $x$,且满足对于任意 $i$, $s_i\in[1,N]$ 且 $\sum_j[s_i=s_j]\le K$,即相同元素至多出现 $K$ 次.答案对 $M$ 取模. $N,K\le100$. \(\mathcal{…

Solution -「ARC 104C」Fair Elevator

$\mathcal{Description}$ Link. 数轴从 $1\sim 2n$ 的整点上有 $n$ 个闭区间.你只知道每个区间的部分信息(可能不知道左或右端点,或者都不知道),问是否存在满足已知信息的 $n$ 个区间,满足: 每个整点是恰好一个区间的端点. 所有包含同一个整点的区间长度相等. 输入信息可能不合法. $n\le100$. $\mathcal{Solution}$ 老细节题了.( 考虑数轴上连续的一段区间 $[l,r]$,…

Solution Set -「ABC 217」

大家好屑兔子又来啦! [A - Lexicographic Order] 说个笑话,$\color{black}{\text{W}}\color{red}{\text{alkingDead}}$ 和 $\color{black}{\text{O}}\color{red}{\text{neInDark}}$ 在这题各罚了两次时,我因为不会所以没有被罚. [B - AtCoder Quiz]不会. [C - Inverse of Permutation]不会. [D - Cuttin…

Note -「Lagrange 插值」学习笔记

目录问题引入思考 Lagrange 插值法插值过程代码实现实际应用「洛谷 P4781」「模板」拉格朗日插值「洛谷 P4463」calc 题意简述数据规模 Solution Step 1 Step 2 证明代码「CF 995F」Cowmpany Cowmpensation 题意简述数据规模 Solution Step 1 Step 2 证明代码「CF 662F」The Sum of the k-th Powers 题意简述数据规模 Solution 代码「BZOJ 3…

Note -「动态 DP」学习笔记

目录「CF 750E」New Year and Old Subsequence 「洛谷 P4719」「模板」"动态 DP" & 动态树分治「洛谷 P6021」洪水「SP 6779」GSS7 「NOIP 2018」「洛谷 P5024」保卫王国 $\mathcal{Introduction}$ $\mathcal{Problem~1}$ 给定序列 $\{a_n\}$,其中 $a_i\in\mathbb Z$,求其最大子段和(不能为空). 很显然的 DP…

LOJ #2026「JLOI / SHOI2016」成绩比较

很好的锻炼推柿子能力的题目 LOJ #2026 题意有$n$个人$ m$门学科,第$ i$门的分数为不大于$U_i$的一个正整数定义A「打爆」B当且仅当A的每门学科的分数都不低于B的该门学科的分数已知第一个人第$ i$们学科的排名为$ R_i$, 即这门学科不低于$ n-R_i$人的分数,但一定低于$ R_i-1$人的分数求有多少种方案使得第一个人恰好「打爆」了$ k$个人两种方案不同当且仅当存在两个人的分数不同 $ n,m \leq 100 ,U_i \leq 10^9$ $ Sol…

LOJ 2288「THUWC 2017」大葱的神力

LOJ 2288「THUWC 2017」大葱的神力 Link Solution 比较水的提交答案题了吧第一个点爆搜第二个点爆搜+剪枝,我的剪枝就是先算出 $mx[i]$ 表示选取第 $i \sim n$ 个物品所能达到的最大价值,如果当前价值加上后面一段的最大价值都打不到当前最大答案,那么返回第三个点只有一个包,直接背包 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个物品占用空间为 $j$ 时最大价值第四.五个点每个物品的体积相同,所以每个包能够放下的物品数量相同,直接建图跑…

@loj - 2496@ 「AHOI / HNOI2018」毒瘤

目录 @description@ @solution@ @accepted code@ @details@ @description@ 从前有一名毒瘤. 毒瘤最近发现了量产毒瘤题的奥秘.考虑如下类型的数据结构题:给出一个数组,要求支持若干种奇奇怪怪的修改操作(例如给一个区间内的数同时加上 c,或者将一个区间内的数同时开平方根),并且支持询问区间的和.毒瘤考虑了 n 个这样的修改操作,并将它们编号为 1...n.当毒瘤要出数据结构题的时候,他就将这些修改操作中选若干个出来,然后出成一道题. 当然了…