恢复  继续关于<Mathematical Olympiad——组合数学>中问题的分析,这一篇文章将介绍有关染色的问题. 问题一: 将一些石头放入10行14列的矩形方格表内,允许在每个单元格内放入石头的数目多于1块,然后发现每一行每一列上均有奇数块石头.若将矩形方格表上的单元格相间地染为黑色和白色,证明:在黑色单元格上石头的数目共有偶数块. 分析:我们考虑利用反证法来完成证明.即黑色单元格上的石头数目共有奇数块. 我们先假设该矩形方格奇行奇列.偶行偶列是黑色,并设奇行奇列有k1个奇数个石子的格…

2021.12.06 P1450 [HAOI2008]硬币购物(组合数学+抽屉原理+DP) https://www.luogu.com.cn/problem/P1450 题意: 共有 44 种硬币.面值分别为 \(c_1,c_2,c_3,c_4\). 某人去商店买东西,去了 \(n\) 次,对于每次购买,他带了 \(d_i\) 枚 \(i\) 种硬币,想购买 \(s\) 的价值的东西.请问每次有多少种付款方法. 分析: 设有且仅有一种硬币,价值为 \(c\) ,有 \(d\) 枚.现在想买价值为…

抽屉原理可以说是组合数学中最简单易懂的一个原理了,其最简单最原始的一个表达形式:对于n本书放到n-1个抽屉中,保证每个抽屉都要有书,则必存在一个抽屉中有2本书.但是这个简单的原理在很多问题中都能够巧妙的应用到,融合将问题一步步抽象转化来接近抽屉原理的原始模型,是用好抽屉原理的关键. 问题一:两个半径相等的圆盘上各有一个内接正2n边形,每个正2n边形的顶点有一半染上黄色,一般染上蓝色,将这一个圆盘放在另一个圆盘上并使得两个正2n边形的顶点均重合,这样得到2n对顶点,如果一对顶点中两个重合的顶点颜色…

这篇文章,我们开始对奥数中有关操作和游戏的问题进行分析和讨论,其实在信息学竞赛中涉及到的一些博弈问题(分析必胜策略)的问题(例如巴什博弈.尼姆博弈),本质上来讲,就是组合数学当中的组合游戏,并不是真正意义上的博弈论. 下面就让我们来看看,这蕴藏着“必胜策略”的组合游戏到底有着怎样的玄机. 问题一:两个人交替地在黑板上写从1~1000的自然数,第一个人在黑板上写的数是1,然后,在黑板上写的数要么是2a,要么是a+1,其中,a是已经写在黑板上的数,且在黑板已经写过的数不允许再写,首先在黑板上写下10…

Factory One industrial factory is reforming working plan. The director suggested to set a mythical detail production norm. If at the beginning of the day there were x details in the factory storage, then by the end of the day the factory has to produ…

题意: 给出两个数n,m,0<=n,m<=3000,输出n/m的循环小数表示以及循环节长度. 思路: 设立一个r[]数组记录循环小数,u[]记录每次的count,用于标记,小数计算可用 r[i]=n*10/m;n=n*10%10 直到n为0或u[n]!=0(找到循环节) 涉及到两个知识点:n/m的余数在0~m-1之间: 抽屉原理:循环次数最多不超过m+1次 具体见代码. //求循环节 #include<cstdio> #include<cstring> #define…

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3303 Harmony Forever Time Limit: 20000/10000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 813    Accepted Submission(s): 222 Problem Description We believe that every inh…

/* 引用过来的 题意: 给出N个数,问其中是否存在M个数使其满足M个数的和是N的倍数,如果有多组解, 随意输出一组即可.若不存在,输出 0. 题解: 首先必须声明的一点是本题是一定是有解的.原理根据抽屉原理: 因为有n个数,对n个数取余,如果余数中没有出现0,根据鸽巢原理,一定有两个数的余数相同, 如果余数出现0,自然就是n的倍数.也就是说,n个数中一定存在一些数的和是n的倍数. 本题的思路是从第一个数开始一次求得前 i(i <= N)项的和关于N的余数sum,并依次记录相应余数的存在状态,…

Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 6452   Accepted: 2809   Special Judge Description The input contains N natural (i.e. positive integer) numbers ( N <= 10000 ). Each of that numbers is not greater than 15000. This numbers a…

1103 N的倍数 题目来源: Ural 1302 基准时间限制:1 秒 空间限制:131072 KB 分值: 40 难度:4级算法题 一个长度为N的数组A,从A中选出若干个数,使得这些数的和是N的倍数. 例如:N = 8,数组A包括:2 5 6 3 18 7 11 19,可以选2 6,因为2 + 6 = 8,是8的倍数.   Input 第1行:1个数N,N为数组的长度,同时也是要求的倍数.(2 <= N <= 50000) 第2 - N + 1行:数组A的元素.(0 < A[i] &…

传送门 首先,选取子集的限制太宽了,子集似乎只能枚举,不是很好做.考虑加强限制条件:将"选取子集"的限制变为"选取子序列"的限制.在接下来的讨论中我们将会知道:将限制控制得更紧,问题也一定会有解. 现在我们需要求\(A,B\)的两个子序列,满足两者的和相等.显然可以前缀和,然后就不会做了qwq 考虑下面的算法:假定\(\sum\limits_{a \in A} a < \sum\limits_{b \in B} b\)(如果相等直接全选),设序列\(A\)前缀…

题目链接:http://poj.org/problem?id=2356 题目大意:给你n个数,要你从n个数选出若干个数,要求这若干个数的和是n的倍数,输出选择数的个数,以及相应的数. 解题思路: 以下摘自博客:https://www.cnblogs.com/pengwill/p/7367031.html 二.鸽巢原理(抽屉原理) 基本描述 桌子上有是个苹果,把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎么放,我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果.这一现象就是所说的“抽屉原理”. 更一般的表述:如果每…

抽屉原理: 形式一:设把n+1个元素划分至n个集合中(A1,A2,…,An),用a1,a2,…,an分别表示这n个集合对应包含的元素个数,则:至少存在某个集合Ai,其包含元素个数值ai大于或等于2.   形式二:设把nm+1个元素划分至n个集合中(A1,A2,…,An),用a1,a2,…,an表示这n个集合对应包含的元素个数,则:至少存在某个集合Ai,其包含元素个数值ai大于或等于m+1.   形式三:设把n个元素分为k个集合A1,A2,…,Ak,用a1,a2,…,ak表示这k个集合里相应的元素…

Repeating Decimals 紫书第3章,这哪是模拟啊,这是数论题啊 [题目链接]Repeating Decimals [题目类型]抽屉原理 &题解: n除以m的余数只能是0~m-1,根据抽屉原则,当计算m+1次时至少存在一个余数相同,即为循环节:存储余数和除数,输出即可. 上面是我查到的,现在让我解释一下: 比如5/43,先是要模拟除法运算,第一步50/43 余7;第二步,70/43 于27... 这样一直取余下去,肯定不会超过43次,就会有余数相同的情况,有相同情况就是找到循环节了.…

题目传送:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1808 Problem Description Every year there is the same problem at Halloween: Each neighbour is only willing to give a certain total number of sweets on that day, no matter how many children call on him, s…

题意:给你N个数,从中取出任意个数的数 使得他们的和 是 N的倍数: 在鸽巢原理的介绍里面,有例题介绍:设a1,a2,a3,……am是正整数的序列,试证明至少存在正数k和l,1<=k<=l<=m,是的和ak+ak+1+……+al是m的倍数,接下来开始证明: 构造一个序列s1=a1,s2=a1+a2,……,sm=a1+a2+……+am,那么会产生两种可能: 1:若有一个sn是m的倍数,那么定理成立: 2:假设上述的序列中没有任何一个元素是m的倍数,令rh ≡ sh mod m;其中h=1,…

Find a multiple Time Limit: 1000MS Memory Limit: 65536K Total Submissions: 7133 Accepted: 3122 Special Judge Description The input contains N natural (i.e. positive integer) numbers ( N <= 10000 ). Each of that numbers is not greater than 15000. This…

传送门 思维题. 考虑维护两个数列的前缀和a1,a2,a3,...,ana_1,a_2,a_3,...,a_na1​,a2​,a3​,...,an​和b1,b2,b3,...,bnb_1,b_2,b_3,...,b_nb1​,b2​,b3​,...,bn​.不妨设an≤bna_n\le b_nan​≤bn​. 由于两个数列每个数都在1~n之间,所以说对于每一个aia_iai​总能找到一个比aia_iai​小且最接近的bjb_jbj​,使得0≤ai−bj≤n−10\le a_i-b_j\le n-…

从POJ 2356来体会抽屉原理的妙用= =! 题意: 给你一个n,然后给你n个数,让你输出一个数或者多个数,让这些数的和能够组成n: 先输出一个数,代表有多少个数的和,然后再输出这些数: 题解: 首先利用前缀和先预处理一下,然后如果sum[i]==0的话,很显然就直接输出i,然后接下来从第一位一直输出到第i位就行了 然后接下来直接用一个mod数组表示上一个答案为这个mod的时候的编号是多少 就是mod[sum[i]%n]=i; 然后判断一下if(mod[sum[i]%n]!=0)然后就直接从m…

B. Modulo Sum time limit per test 2 seconds memory limit per test 256 megabytes input standard input output standard output You are given a sequence of numbers a1, a2, ..., an, and a number m. Check if it is possible to choose a non-empty subsequence…

看到题目一开始想到的是一道求子集和的异或和,可以用$bitset$实现求子集和.然而这道题如果要强算子集和肯定是带不动的,况且还要算方案,所以尝试去找题目中的性质. 看到整除,很容易想到如果是一段区间,区间的头和尾的前缀和模后余数是一样的,那么这段区间(左开右闭)一定是满足整除的一段区间.而这道题目中,我们发现模数$n$很特殊,是这个序列的长度.继续深入思考. 这个序列一共有$n$个前缀和,而模$n$取余数一共有$n$个,其中如果余数是0那么便是符合条件的答案了,所以如果0,剩下$n-1$个余数…

版权声明:本文为博主原创文章.未经博主同意不得转载. https://blog.csdn.net/u011328934/article/details/37612503 题目链接:uva 11237 - Halloween treats 题目大意:有c个小孩要到邻居家去要糖果.有n户邻居.每户邻居仅仅会提供固定数量的糖果,熊孩子们为了不发生冲突,决定将取来的糖果平均分配,问说取那几家邻居的糖果能够做到平均分配.注意n ≥ c. 解题思路:抽屉原理.求出序列的前缀和,有n个,将前缀和对c取模后.依…

题面描述 某人在山上种了\(N\leq 2*10^4​\)棵小树苗.冬天来了,温度急速下降,小树苗脆弱得不堪一击,于是树主人想用一些塑料薄膜把这些小树遮盖起来,经过一番长久的思考,他决定用\(3​\)个\(L*L​\)的正方形塑料薄膜将小树遮起来.我们不妨将山建立一个平面直角坐标系,设第\(i​\)棵小树的坐标为\((x_i,y_i)​\),\(3​\)个\(L*L​\)的正方形的边要求平行与坐标轴,一个点如果在正方形的边界上,也算作被覆盖.当然,我们希望塑料薄膜面积越小越好,即求\(L​\)最…

Problem J: 幻化 Time Limit: 2 Sec Memory Limit: 128 MB Submit: 18 Solved: 3 [Submit][Status][Web Board] Description 遇见你是我一世的春暖花开, 从此清风明月浩瀚星海. 不论结局,很高兴认识你. 她给了他一个长度为n的整数序列a[],他还给了她另外一个长度为n的整数序列b[],现在他想通过每次交换a[i],a[j]使序列a变成b,但是每次交换的代价是|j-i|. 请问最少的代价是多少呢?…

Halloween treats Every year there is the same problem at Halloween: Each neighbour is only willing to give a certain total number of sweets on that day, no matter how many children call on him, so it may happen that a child will get nothing if it is…

A. Factory time limit per test 1 second memory limit per test 256 megabytes input standard input output standard output One industrial factory is reforming working plan. The director suggested to set a mythical detail production norm. If at the begin…

题目链接:https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1103 题意:中文题诶- 思路:抽屉原理 对于两个数a, b, 若a=b(modx),那么(a-b)%x=0: 所以求满足题意的数列,我们可以在连续子序列里面找到． 证明:我们用num[i]存储a[i]的前缀和mod n的值,我们有n个前缀和,其mod n的值有1~n-1 n-1种可能(如果为0的话说明第1个元素到第i个元素的和是n的倍数啦),由抽屉原理可知,…

       抽屉原理:          桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,不管如何放,我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果.          这一现象就是我们所说的"抽屉原理".          假设每个抽屉代表一个集合,每个苹果就能够代表一个元素,假如有n+1个元素放到n个集合中去,当中必然有一个集合里至少有两个元素.        最差原则:          最差原则,即考虑全部可能情况中.最不利于某件事情发生的情况.          比如,有300…

                                                                          1100 - Again Array Queries                                                                                                  ->   Link   <- 又是这种区间查询最值问题,题目意思是要使得这个区间的两个数的差值最小值,…

Halloween treats Time Limit: 2000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 6631   Accepted: 2448   Special Judge Description Every year there is the same problem at Halloween: Each neighbour is only willing to give a certain total number of sweets…