Description 给定n,m,求\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\varphi(ij)\)模10^9+7的值. Input 仅一行,两个整数n,m. Output 仅一行答案. Sample Input 100000 1000000000 Sample Output 857275582 数据规模 1<=n<=10^5,1<=m<=10^9. sol %%%ranwen!!! 前置技能: \(n=\sum_{d|n}\varphi(d)\) \(\v…

3512: DZY Loves Math IV 题意:求\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \varphi(ij)\),\(n \le 10^5, m \le 10^9\) n较小,考虑写成前缀和的形式,计算\(S(n,m)=\sum_{i=1}^m \varphi(in)\) 一开始想出 \[ n= \prod_i p_i,\ \varphi(in) = \varphi(i) \cdot \varphi(\frac{n}{d})\cdot d,\ d=(n,i) \] 比较…

注意到n很小,考虑枚举i.现在要求的是f(n,m)=Σφ(in) (i=1~m).显然当n没有平方因子时,φ(in)=φ(i)·φ(n/gcd(i,n))·gcd(i,n).利用φ*1=id又可得φ(i,n)=φ(i)·Σφ(n/d) (d|gcd(i,n)).改为枚举d就可以得到f(n,m)=Σφ(n/d)*f(d,m/d) (d|n),记忆化搜索求解.n有平方因子时可以发现只要把平方因子提出来最后再乘上就行了,除去平方因子的数可以线性筛得到. 当n=1时无法继续递归,答案即为φ的前缀和,杜教…

解:这又是什么神仙毒瘤题...... 我直接把后面那个phi用phi * I = id反演一波,得到个式子,然后推不动了...... 实际上第一步我就大错特错了.考虑到n很小,我们有 然后计算S,我们根据欧拉函数的性质有: 于是只考虑n sqr free的情况. 到这里有两种解法,一种是暴力递归. 考虑n的一个因子p,我们先提取出前面那一项,但是这还不够.因为当p|i的时候应该提出来p = phi[p] + 1. 于是我们在后面补上.令i = pt,就有了递归式. #include <cstdi…

[BZOJ3512]DZY Loves Math IV(杜教筛) 题面 BZOJ 求 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\varphi(ij)\] 其中\(n\le 10^5,m\le 10^9\). 题解 这个数据范围很有意思. \(n\)的值足够小,所以我们可以直接暴力枚举\(n\). 那么所求: \[S(n,m)=\sum_{i=1}^m\varphi(ni)\] 考虑如何将\(\varphi\)给拆开,因为\(\varphi\)只有每个质因子第一次出现的时候才会特殊计算…

参考:http://blog.csdn.net/wzf_2000/article/details/54630931 有这样一个显然的结论:当\( |\mu(n)|==1 \)时,\( \phi(nk)=\phi(k)\sum_{d|gcd(n,k)}\phi(\frac{n}{d}) \)然后看n的范围比较友好就先不去管它,先看后面的: \[ if |\mu(i)|==1 \] \[ \sum_{k=1}^{i}\sum_{d|i,d|k}\phi(\frac{n}{d})\phi(k) \]…

[BZOJ3309]DZY Loves Math Description 对于正整数n,定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数.例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0.给定正整数a,b,求sigma(sigma(f(gcd(i,j)))) (i=1..a, j=1..b). Input 第一行一个数T,表示询问数.接下来T行,每行两个数a,b,表示一个询问. Output 对于每一个询问,输出一行一个非负整数作为回答. Sample…

题链: http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3512 题解: $$求ANS=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}\phi(ij)\quad N\leq 10^5\;M\leq 10^9$$ 杜教筛 因为N比较小,所以从这里入手: 设$sum(n,M)=\sum_{i=1}^{M}\phi(ni)$ 则答案为$ANS=\sum_{n=1}^{N}sum(n,M)$ 考虑如何求$sum(n,M)$ 首先按照唯一分解定理,…

Description 给定n,m,求 模10^9+7的值. Input 仅一行,两个整数n,m. Output 仅一行答案. Sample Input 100000 1000000000 Sample Output 857275582 数据规模: 1<=n<=10^5,1<=m<=10^9,本题共4组数据. Solution 这题还真是要一点函数基础 设 \(S(n,m)=\sum_{i=1}^m\varphi(in)\) ,所以答案就是 \(\sum_{i=1}^nS(i,m)…

Description 给定n,m,求 模10^9+7的值. Solution 设 \(S(n,m)\) 表示 \(\sum_{i=1}^{m}\phi(n*i)\) \(Ans=\sum_{i=1}^{n}S(i,m)\) \(S(n,m)=\sum_{i=1}^{m}\phi(n*i)\) 如果 \(\mu(n)!=0\) 则有 \(\sum_{i=1}^{m}\phi(\frac{n}{gcd(i,n)})*\phi(i)*gcd(i,n)\) (因为要保证除完\(gcd\)之后,两数不含…