[POJ2409]Let it Bead 题意:用$m$种颜色去染$n$个点的环,如果两个环在旋转或翻转后是相同的,则称这两个环是同构的.求不同构的环的个数. $n,m$很小就是了. 题解:在旋转$i$次后,循环节的个数显然是$gcd(i,n)$. 如果考虑翻转,我们将点从$0$到$n-1$标号,令其先以0到圆心的连线为对称轴翻转,再旋转i次,则原来编号为x的会变成$n-x+i \mathrm{mod} n$,令$n-x+i=x \mathrm{mod} n$,则$2x=i$或$2x=n+i$.…

Let it Bead Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 6443   Accepted: 4315 Description "Let it Bead" company is located upstairs at 700 Cannery Row in Monterey, CA. As you can deduce from the company name, their business is b…

置换群 设\(N\)表示组合方案集合.如用两种颜色染四个格子,则\(N=\{\{0,0,0,0\},\{0,0,0,1\},\{0,0,1,0\},...,\{1,1,1,1\}\}\),\(|N|=2^4\). 对于\(N\)上的所有置换,它们组成的群称为置换群,记为\(G\).\(G\)中任意两个置换的积仍在\(G\)中. Burnside引理 又称轨道计数定理.Burnside计数定理.Cauchy-Frobenius定理.Pólya-Burnside引理. 定理描述为:\(等价类数量=\…

[BZOJ1478]Sgu282 Isomorphism 题意:用$m$种颜色去染一张$n$个点的完全图,如果一个图可以通过节点重新标号变成另外一个图,则称这两个图是相同的.问不同的染色方案数.答案对$P$取模. $n\le 53,m\le 1000,P>n,P$是质数. 题解:对于本题来说,每个元素是所有边,每个置换是边的置换,而边的置换难以表示,点的置换容易表示,所以我们考虑点置换和边置换的关系. 如果两个点置换有着相同的结构,则它们对应的边置换的循环数相同. $$\begin{pmatri…

[POJ2154]Color 题意:求用$n$种颜色染$n$个珠子的项链的方案数.在旋转后相同的方案算作一种.答案对$P$取模. 询问次数$\le 3500$,$n\le 10^9,P\le 30000$ 题解:旋转i次的循环个数显然是$gcd(i,n)$,然后套用Pólya定理. $$ans=\frac 1 n \sum\limits_{i=1}^nn^{gcd(i,n)}$$ $$ans=\sum\limits_{i=1}^nn^{gcd(i,n)-1}$$ $$ans=\sum\limit…

这个计数定理在考虑对称的计数中非常有用 先给出这个定理的描述,虽然看不太懂: 在一个置换群G={a1,a2,a3……ak}中,把每个置换都写成不相交循环的乘积. 设C1(ak)是在置换ak的作用下不动点的个数,也就是长度为1的循环的个数.通过上述置换的变换操作后可以相等的元素属于同一个等价类 那么等价类的个数就等于: 然后理解一下公式 一正方形分成4格,2着色,有多少种方案?其中,经过转动相同的图象算同一方案. 关于转动,一共有四种置换方法,也就是|G|=4 不动(360度):a1=(1)(2)…

听大佬们说了这么久Pólya定理,终于有时间把这个定理学习一下了. 置换(permutation)简单来说就是一个(全)排列,比如 \(1,2,3,4\) 的一个置换为 \(3,1,2,4\).一般地,我们记 \(i\) 到 \(a_i(1<=i<=n)\) 的一个置换为 \[ \left ( \begin{matrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{matrix} \r…

Burnside's lemma 引例 题目描述 一个由2*2方格组成的正方形,每个格子上可以涂色或不涂色, 问共有多少种本质不同的涂色方案. (若两种方案可通过旋转互相得到,称作本质相同的方案) 解法 每个格子可以涂色,可以不涂色,共有16种方案.将16种方案编号. 把本质相同的方案合并: 方案1:{1},方案2:{2}, 方案3:{3,4,5,6},方案4:{7,8,9,10}, 方案5:{11,12},方案6:{13,14,15,16}, 共6种方案. 旋转可以看作是置换,所有置换组成置换…

目录 @0 - 参考资料@ @1 - 问题引入@ @2 - burnside引理@ @3 - pólya定理@ @4 - pólya定理的生成函数形式@ @0 - 参考资料@ 博客1 @1 - 问题引入@ 一个经典问题: 一正方形分成4格,2着色,有多少种方案? 其中,经过转动相同的图象算同一方案. 假如不考虑转动,各种方案如下所示. 首先可以发现,转动的角度只有 4 种:0°,90°,180°,270°. 然后可以得到,每一次转动可以将一个方案唯一映射成另一个方案(可以是自身). 于是我们可以…

在介绍\(Polya\) 定理前,先来介绍一下群论(大概了解一下就好): 群是满足下列要求的集合: 封闭性:即有一个操作使对于这个集合中每个元素操作完都使这个集合中的元素 结合律:即对于上面那个操作有结合律 单位元:对于\(a * e = a\)则称\(e\)是集合\(A\)对于操作\(*\)(并不一定是相乘)的逆元 逆元:即有\(a * b = b * a = e\)对于元素\(a\)有逆元 置换群: 考虑这样的一个全置换集合,可以验证该集合为群.(置换不懂的话建议右转百度,这里不细说) 接下…