5在1e9+9下有二次剩余,那么fib的通项公式就有用了. 已知Fn,求n.注意到[(1+√5)/2]·[(1-√5)/2]=-1,于是换元,设t=[(1+√5)/2]n,原式变为√5·Fn=t-(-1)n·t-1.同乘t并移项,可得t2-√5·Fn·t-(-1)n=0.讨论n的奇偶性,BSGS求二次剩余大力解方程即可.用BSGS求二次剩余是非常简单的,求出其以原根为底的离散对数即可. 注意二次剩余有正负两解,但似乎代进去正根(即√gk=gk/2)就行了,不太明白.以及题目要求最小解,BSGS的…

Description Fib数列为1,1,2,3,5,8... 求在Mod10^9+9的意义下,数字N在Fib数列中出现在哪个位置 无解输出-1 Input 一行,一个数字N,N < = 10^9+9 $r_1=\frac{1+\sqrt 5}{2}\\ r_2=\frac{1-\sqrt 5}{2}=-\frac{1}{r_1}\\ N=Fib_x=r_1^x-r_2^x\\ N^2=r_1^{2x}+r_2^{2x}-2(-1)^x\\ ±(r_1^x+r_2^x)=\sqrt{N^2+4…

传送门 发现只有通项公式可以解决考虑通项公式 \(F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n) = a\) 注意到根据二次互反律,在\(\mod 10^9+9\)意义下\(5\)存在二次剩余,所以先把\(\sqrt{5}\)对应的值算出来(实际上是\(383001016\)). 那么原式变为了\((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1-\sqrt{5}}{…

快AFO了才第一次写二次剩余的题…… 显然应该将Fn写成通项公式(具体是什么写起来不方便而且大家也都知道),设t=((1+√5)/2)n,T=√5N,然后可以得到t-(-1)t/t=√5N,两边同时乘t,移项,得到t2-√5Nt-(-1)n=0.分别讨论n是奇数或偶数的情况,通过求根公式求t,写个二次剩余即可. #include<bits/stdc++.h> using namespace std; ,inv2=5e8+,mod=1e9+,inf=0x7fffffff; int n,w,ans…

斐波那契数列的通项: \[\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})-(\frac{1-\sqrt{5}}{2}))\] 设T=\(\sqrt{5}*N\),\(y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\) 原式可化为\(y^n-(-\frac{1}{y}^n) \equiv T(mod\ p)\) 我们设\(t=y^n\) 原式可继续化为\(t-T*t \equiv (-1)^n(mod\ p)\) 然后我们对n进行奇偶讨论. 即分别求出\(t-T*…

题目传送门 https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5118 题解 这个题一看就是不可做的样子. 求斐波那契数列的第 \(n\) 项,\(n \leq 2^{10^{15}}\)??? 这样人怎么矩阵快速幂啊. 等等这个模数很神奇啊. \(1125899839733759\) 好像是一个质数,还以 \(9\) 结尾. 那么 \(5\) 对于 \(1125899839733759\) 一定有二次剩余咯. 那么根据 Fib 的通项公式 \[ f(n)…

题意 题目链接 题目链接 一种做法是直接用欧拉降幂算出\(2^p \pmod{p - 1}\)然后矩阵快速幂. 但是今天学习了一下二次剩余,也可以用通项公式+二次剩余做. 就是我们猜想\(5\)在这个模数下有二次剩余,拉个板子发现真的有. 然求出来直接做就行了 #include<bits/stdc++.h> #define Pair pair<int, int> #define MP(x, y) make_pair(x, y) #define fi first #define se…

[BZOJ5104]Fib数列(BSGS,二次剩余) 题面 BZOJ 题解 首先求出斐波那契数列的通项: 令\(A=\frac{1+\sqrt 5}{2},B=\frac{1-\sqrt 5}{2}\),那么\(f[n]=\frac{1}{\sqrt 5}(A^n-B^n)\). 然后有\(A=-\frac{1}{B}\),所以有:\(f[n]=\frac{1}{\sqrt 5}((-\frac{1}{B})^n-B^n)\). 令\(x=B^n\),这里需要考虑一下\(n\)的奇偶性: 如果\…

目录 @description@ @solution@ @accepted code@ @details@ @description@ Fib数列为1,1,2,3,5,8... 求在Mod10^9+9的意义下,数字N在Fib数列中出现在哪个位置 无解输出-1 原题传送门. @solution@ 一个熟练的 OIer 选手应该能迅速发现 5 在模 10^9 + 9 意义下有二次剩余.考虑斐波那契通项公式: \[f_i = \frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1 + \sqrt{5}…

斐波那契级数除以N会出现循环,此周期称为皮萨诺周期. 下面给出证明 必然会出现循环 这是基于下面事实: 1． R(n+2)=F(n+2) mod P=(F(n+1)+F(n)) mod P=(F(n+1) mod p +F(n) modp) mod p 2． 斐波那契数列的最大公约数定理:gcd(F(m),F(n))=F(gcd(m,n)) 最大公约数定理表明如果F(k)能被N整除,则F(ik)也能被N整除,这就表明了斐波那契数列所含因子的周期性,下面列举: 因子:2,3,4,5, 6,7,8,…