额,最近看到了一个十分有趣的定理--Sperner定理.其实这个定理在OI中没什么用处,因此我都没把这篇文章放到我的OI标签里(不知道在MO中是否有用?)但是觉得它很有趣于是就过来写一下. 由于博主太弱不会用LaTeX写取整符号,本文中用\([x]\)表示\(x\)下取整. 问题: 有一个\(n\)元集合\(S_n\),从中选出若干个子集,满足没有任何两个子集之间存在包含关系,问最多能选出多少个? 首先结论是很好猜的.如果把所有\(k\)元子集全部选出,那么显然不会包含,一共能选\(n\choo…

 二分图最大匹配的K?nig定理及其证明 本文将是这一系列里最短的一篇,因为我只打算把K?nig定理证了,其它的废话一概没有.    以下五个问题我可能会在以后的文章里说,如果你现在很想知道的话,网上去找找答案:    1. 什么是二分图:    2. 什么是二分图的匹配:    3. 什么是匈牙利算法:(http://www.matrix67.com/blog/article.asp?id=41)    4. K?nig定理证到了有什么用:    5. 为什么o上面有两个点. K?nig定理是…

VC定理的证明 本文讨论VC理论的证明,其主要内容就是证明VC理论的两个定理,所以内容非常的枯燥,但对于充实一下自己的理论知识也是有帮助的.另外,VC理论属于比较难也比较抽象的知识,所以我总结的这些证明难免会有一些错误,希望各位能够帮我指出. (一)简单版本的VC理论. 给定一个集合系统$(U,\mathcal{S})$,VC理论可以解决以下问题.对于一个在$U$上的分布$P$,那么至少需要选择多少个样本(根据分布$P$选择),才能使对每个$S\in\mathcal{S}$,用样本估计出来的值以…

泰勒定理: 证明:…

1.定理和证明 \documentclass[a4paper,UTF8]{article} \usepackage{ctex} \usepackage{amsthm,amsmath,amsfonts,amssymb} \newtheorem{theorem}{定理}%一定不能忘,否则会报错 \begin{document} \begin{theorem} 设$a,b$是两个实数,则$2ab\leq a^+b^$. \end{theorem} \begin{proof} 因为$(a-b)^{}\g…

Lucas定理的证明: 转自百度百科(感觉写的还不错) 首先你需要这个算式:    ,其中f > 0&& f < p,然后 (1 + x) nΞ(1 + x) sp+q Ξ( (1 + x)p)s· (1 + x) q Ξ(1 + xp) s· (1 + x) q(mod p)     (modp) 所以得(1 + x) sp+q    (mod p) 我们求右边的    的系数为: 求左边的    为: 通过观察你会发现当且仅当i = t , j = r ,能够得到    的…

Tina Town is a friendly place. People there care about each other. Tina has a ball called zball. Zball is magic. It grows larger every day. On the first day, it becomes 11 time as large as its original size. On the second day,it will become 22 times…

[转http://www.cppblog.com/abilitytao/archive/2009/09/02/95147.html  ->  http://yejingx.ycool.com/post.2801156.html:http://hi.baidu.com/cjhh314/blog/item/ded8d31f15d7510c304e1591.html] 二分图最小覆盖的Konig定理及其证明 一.定义 二分图: 顶点可以分类两个集合X和Y,所有的边关联在两个顶点中,恰好一个属于集合X,…

我们接着上面的欧几里得算法说 扩展欧几里得算法 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x,y,使它们满足贝祖等式\(^①\): ax+by = gcd(a, b) =d(解一定存在,根据数论中的相关定理).扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中. ①:裴蜀定理: 裴蜀定理\((Bezouts identity)\)是代数几何中一个定理,其内容是若设a,b是整数,则存在整数x,y,使得ax+by=gcd(a,b),(a,b)代表最大公因数,则设a,b是不全为零的整数,则存在整数x,y,使…

本证明参考了李煜东老师<算法竞赛进阶指南>. 我们首先证明欧拉定理,然后推导出费马小定理. 欧拉定理:若\(\gcd(a,n)=1,a,n\in \mathbb{Z}\),则\(a^{\phi(n)}\equiv 1 \pmod{n}\).其中\(\phi(n)\)为欧拉函数. 设n的简化剩余系为\(\{\overline{d_1},\overline{d_2},\dots,\overline{d_{\phi(n)}}\}\). 由定义,设\(d_1,d_2,\dots,d_{\phi(n)}…

Konig定理 由匈牙利数学家柯尼希(D.Konig)于1913年首先陈述的定理. 定理的内容:在0-1矩阵中,1的最大独立集合最小覆盖包含的元素个数相同,等价地,二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数. 证明: 对于上面的二分图,它的最大匹配(不唯一)已经用红线标出来了, 然后我们对于右边或左边(这里按右边为例)没有匹配的点,我们从它出发走交替路(这里有介绍),会经过若干节点 将所有从右边没有匹配的点开始的交替路上的所有的点标注起来(如下图标蓝的点) 可以证明左边所有被标注的点都是被匹…

证明思路来源于 DZYO 发的博客 Cayley-Hamilton 定理: 设 \(\textbf A\) 是 n阶矩阵,\(f(\lambda)=\det(\lambda\textbf I-\textbf A)\),为其特征多项式,则 \(f(\textbf A)=\textbf0\). 证明: 考虑令 \(\textbf{B}=\lambda\textbf I-\textbf A,\textbf C=\textbf{B}^*\) ,那么有 \(\textbf{BC}=\textbf{CB}=…

摘要:RRCF是亚马逊发表的一篇异常检测算法,是对周志华孤立森林的改进.但是相比孤立森林,具有更为扎实的理论基础.文章的理论论证相对较为晦涩,且没给出详细的证明过程.本文不对该算法进行详尽的描述,仅对其中的关键定理或引理进行证明. Theorem 1: 对于点集S构成的树RCF(S),假设S的bounding box的边长为P(S),一次切分分离x1和x2的概率为. 注意到,切分后,任意一边的bounding box的边长的减少量的期望值为,该期望值满足如下不等式: 因此,每一次切分导致的新子集…

1.定理内容 Dedekind切割定理:设是实数集的一个切割,则或者有最大数,或者有最小数. 2.证明过程 设是中所有有理数所构成的集合,是中所有有理数所构成的集合 从而构成一个有理数集的切割 有三种情况: (1)中有最大数,中无最小数 (2)中无最大数,中有最小数 (3)中无最大数,中无最小数 对于情况(1): 下证也是的最大数,而没有最小数 反证,假设不是的最大数,设是的最大数 由有理数的稠密性知,在中必存在有理数 由知,而,与是的最大数矛盾 从而是的最大数    //不是的最大数的反面为什…

http://baike.baidu.com/link?url=jJgkOWPSRMobN7Zk4kIrQAri8m0APxcxP9d-C6qSkIuembQekeRwUoEoBd6bwdidmoCRQB_dBklDffpzM_87iSPMyiph2iAXCTyv19YpuuG 看一下这个冯志刚的初等数论证明 对最后的补充 (1+x)的a0次方展开式中每一项的形式能够写成C(a0.b0)x的b0次方的形式.每一项是相加的 同理可得 (1+xp)的a1次方展开式中的每一项的形式能够写成C(a1,b…

本篇口胡写给我自己这样的什么都乱证一通的口胡选手 以及那些刚学Matrix-Tree,大致理解了常见的证明但还想看看有什么简单拓展的人- 大概讲一下我自己对Matrix-Tree定理的一些理解.常见版本的证明.我自己的证明,以及简单的一些应用(比如推广到有向图.推广到生成树边权的乘积和什么的,非常基础). 应该看到这里的人都知道Matrix-Tree定理是干什么的吧-就是统计一个无向图的生成树个数,表示成一个行列式. 1.前置定义及性质 首先是Matrix-Tree定理相关的定义:对于一个无向图…

Lucas 定理(证明) A.B是非负整数,p是质数.AB写成p进制:A=a[n]a[n-1]...a[0],B=b[n]b[n-1]...b[0]. 则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*...*C(a[0],b[0])  mod p 相同 即:Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p) 证明: 首先我们注意到 n=(ak...a2,a1,a0)p  =  (ak...a2,a1)p * p + a0 =  [n…

所谓"学派"是指:存在一帮人,具有同样或接近的学术观点或学术立场,採用某种特定的"方法"(或途径),在一个学术方向上共同开展工作.而且做出了相当有迎影响的学术成就. 数学定理证明机械化的途径非常多,可是."吴方法"仅仅有一种.什么是"吴方法"?我们拿初等(平面)几何学为例,所谓"吴方法"实质上就是"方程联立求证法". 什么叫"方程联立求证法"呢? 比方说,我们须要求证…

题目描述验证尼科彻斯定理,即:任何一个正整数的立方都可以写成一串连续奇数的和. 输入任一正整数 输出该数的立方分解为一串连续奇数的和 样例输入13样例输出13*13*13=2197=157+159+161+163+165+167+169+171+173+175+177+179+181提示本题是一个定理,我们先来证明它是成立的. 对于任一正整数a,不论a是奇数还是偶数,整数(a×a-a+1)必然为奇数. 构造一个等差数列,数列的首项为(a×a-a+1),等差数列的差值为2(奇数数列),则前a项的和…

链接:http://poj.org/problem?id=1265 Area Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 10000K Total Submissions: 4969   Accepted: 2231 Description Being well known for its highly innovative products, Merck would definitely be a good target for industrial espionag…

忘记pick定理是什么了 想枚举来着 ..没枚出来 有篇pick定理的证明 貌似挺好 也没太看懂 /* ID: shangca2 LANG: C++ TASK: fence9 */ #include <iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<stdlib.h> using namespace std; int gcd(int x,int y…

1. 证明 $(10'$). 证明: $\ra$: 由 $p_K(x)<1$ 知 $$\bex \exists\ 0<a<1,\st \cfrac{x}{a}\in K. \eex$$ 既然 $0$ 是 $K$ 的内点, $$\bex \forall\ y,\ \exists\ \ve=\ve(y)>0,\st |t|<\cfrac{\ve}{1-a}\ra ty\in K. \eex$$ 于是由 $K$ 的凸性, $$\bex |t|<\ve\ra x+ty =a\c…

导弹拦截是一个经典问题:求一个序列的最长不上升子序列,以及求能最少划分成几组不上升子序列.第一问是经典动态规划,第二问直接的方法是最小路径覆盖, 但是二分图匹配的复杂度较高,我们可以将其转化成求最长上升子序列,其最大值即等于不上升子序列的最小划分数.这就涉及到组合数学中偏序集的 Dilworth定理.(第二问的贪心方法其实就是这个定理的证明过程) 其中第一问和第二问都可以用o(nlogn)的算法解决: #include<cstdio> #include<cstring> #incl…

先贴一个百度百科的注释 Havel定理编辑 本词条缺少概述.名片图,补充相关内容使词条更完整,还能快速升级,赶紧来编辑吧! 中文名 Havel定理 外文名 Canisters theorem 特    点 非负整数序列{dn} 实    质 无向图使得图中各点的度 给定一个非负整数序列{dn},若存在一个无向图使得图中各点的度与此序列一一对应,则称此序列可图化.进一步,若图为简单图,则称此序列可简单图化 可图化的判定:d1+d2+……dn=0(mod 2).关于具体图的构造,我们可以简单地把奇数…

1976年6月4号,周5,在远离音乐会大厅的一个楼上的房间内,在位于Manchester的Lesser Free Trade Hall ,Sex Pistols 乐队(注:Sex Pistols的经理人Malcolm McLaren 2010.4.8去世)開始了他们的第一次演出(gig, 注:规模太小称不上演唱会 ).关于当晚谁出席了那场演出有些混乱,部分是由于6周后的还有一场音乐会,但最基本的还是由于,这场演出被觉得是永久改变西方音乐文化 的一场演出.这场演出是如此的重要且富有象征意义,以至于…

2257: [Jsoi2009]瓶子和燃料 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 1326  Solved: 815[Submit][Status][Discuss] Description jyy就一直想着尽快回地球,可惜他飞船的燃料不够了. 有一天他又去向火星人要燃料,这次火星人答应了,要jyy用飞船上的瓶子来换.jyy 的飞船上共有 N个瓶子(1<=N<=1000) ,经过协商,火星人只要其中的K 个 . jyy 将 K个瓶子交给…

[吐槽] 嗯好吧这个东西吧..其实是一开始做一道最小点覆盖的题的时候学到的奇妙深刻的东西 然后发现写了很长 然后就觉得不拎出来对不起自己呀哈哈哈哈 咳咳好的进入正题 [正题] 在这里码一下最小点覆盖的相关知识 http://www.matrix67.com/blog/archives/116 (二分图最大匹配的König定理及其证明) (所以说其实我也很想知道为什么那个o上面有两个点啊哈哈哈哈) 嗯还是把自己对于上面那篇东西的理解写一下吧整理整理qwq König定理 一个二分图中最大的匹配数=…

Lucas定理 在『组合数学基础』中,我们已经提出了\(Lucas\)定理,并给出了\(Lucas\)定理的证明,本文仅将简单回顾,并给出代码. \(Lucas\)定理:当\(p\)为质数时,\(C_n^m\equiv C_{n\ mod\ p}^{m\ mod\ p}*C_{n/p}^{m/p}(mod\ p)\). 在计算模域组合数时,如果模数较小,那么就可以尝试使用\(Lucas\)定理来递归求解,其时间复杂度为\(O(plog_p\min(n,m))\). \(Code:\) inlin…

在弄清楚这个问题之前,我们先了解一下什么是分布式的CAP定理. 根据百度百科的定义,CAP定理又称CAP原则,指的是在一个分布式系统中,Consistency(一致性). Availability(可用性).Partition tolerance(分区容错性),最多只能同时三个特性中的两个,三者不可兼得. 一.CAP的定义Consistency (一致性): “all nodes see the same data at the same time”,即更新操作成功并返回客户端后,所有节点在同一…

从这里开始 一个有趣的问题 扩展Lucas算法 一个有趣的问题 题目大意 给定$n, m, p$,求$C_{n}^{m}$除以$p$后的余数. Subtask#1  $0\leqslant m\leqslant n \leqslant 2\times 10^{3}$ 直接杨辉恒等式$C_{n}^{m} = C_{n - 1}^{m - 1} + C_{n - 1}^{m}$递推. 时间复杂度$O(n^{2})$. Subtask#2  $0\leqslant m\leqslant n \leqs…