gi为一个为一个置换 c(g),为c(g)的轮换的数量 (循环的数量) 太监了…

原文链接www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Burnside-Polya.html 问题模型 有一个长度为 $n$ 的序列,序列中的每一个元素有 $m$ 种取值. 如果两个序列循环同构,那么我们称这两个序列等价. 求两两不等价的序列个数. Burnside引理 假设有若干个置换 $P_1,P_2,\cdots$ ,设由这些置换生成的置换群为 $Q$ .如果序列 A 可以通过一个 $Q$ 中的置换变成序列 B,那么我们认为 A 和 B 等价. 对于一个置换 $P$ ,如果…

从这里开始 一个有趣的问题 扩展Lucas算法 一个有趣的问题 题目大意 给定$n, m, p$,求$C_{n}^{m}$除以$p$后的余数. Subtask#1  $0\leqslant m\leqslant n \leqslant 2\times 10^{3}$ 直接杨辉恒等式$C_{n}^{m} = C_{n - 1}^{m - 1} + C_{n - 1}^{m}$递推. 时间复杂度$O(n^{2})$. Subtask#2  $0\leqslant m\leqslant n \leqs…

前言 \(Master\)定理,又称主定理,用于程序的时间复杂度计算,核心思想是分治,近几年\(Noip\)常考时间复杂度的题目,都需要主定理进行运算. 前置 我们常见的程序时间复杂度有: \(O(n)/O(n^2)/O(nlog_2n)/O(2^n)\)等等... 我们叫它程序的渐进时间复杂度,例如一段程序执行这样的循环: for(int k=1;k<=n;k++) for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) dist[i][j]=min(d…

Matrix_tree Theorem: 给定一个无向图, 定义矩阵A A[i][j] = - (<i, j>之间的边数) A[i][i] = 点i的度数 其生成树的个数等于 A的任意n - 1阶主子式的值. 关于定理的相关证明 可以看这篇文章, 讲得非常详细, 耐心看就能看懂: 关于求行列式, 可以用高斯消元. 如果是模域下求行列式, 可以用欧几里得算法. 具体实现看这篇文章 模域下求行列式 模板题:SPOJ DETER3 代码: #include <cstdio> #inclu…

一直都知道要用Matrix-Tree定理来解决生成树计数问题,但是拖到今天才来学.博主数学不好也只能跟着各位大佬博客学一下它的应用以及会做题,证明实在是不会. 推荐博客: https://www.cnblogs.com/zj75211/p/8039443.html (Matrix-Tree定理) https://blog.csdn.net/u011815404/article/details/99679527(无向图生成树/MST计数) https://www.cnblogs.com/yangs…

由于自己的作息极其不规律导致比赛被打爆了 但是有的时候状态其实还行. 关于Ploya定理其实特别有意思 这里粘一个[dalao的blog](https://blog.csdn.net/lyc1635566ty/article/details/52545355) 以后有时间了我再写Ploya定理的证明吧. LINK:[POJ Color](http://poj.org/problem?id=2154) 题目大意:给一个长度为n的项链用n种颜色进行染色 项链可以旋转求有多少种本质不同的方案数. 怎么…

群 群的定义 我们定义,对于一个集合 \(G\) 以及二元运算 \(\times\),如果满足以下四种性质,那我们就称 \((G,\times)\) 为一个群. 1. 封闭性 对于 \(a\in G,b\in G\),那么有 \(a\times b\in G\) 2. 结合律 \(a\times (b\times c)=(a\times b)\times c\) 似乎这个东西没有什么用蛤? 3. 单位元 存在一个元素 \(e\in G\),使得任意 \(a\in G\) 有 \(a\times…

终于学到这个了,本来准备省选前学来着的? 前置知识:矩阵行列式 矩阵树定理 矩阵树定理说的大概就是这样一件事:对于一张无向图 \(G\),我们记 \(D\) 为其度数矩阵,满足 \(D_{i,i}=\text{点}i\text{的度数}\),\(D_{i,j}=0(i\ne j)\),再记 \(A\) 为其邻接矩阵,满足 \(A_{i,j}=i,j\text{之间边的条数}\),如果有重边则算作多条边. 设 \(K=D-A\),那么去掉 \(K\) 第 \(k\) 行第 \(k\) 列(\(k\…

在介绍\(Polya\) 定理前,先来介绍一下群论(大概了解一下就好): 群是满足下列要求的集合: 封闭性:即有一个操作使对于这个集合中每个元素操作完都使这个集合中的元素 结合律:即对于上面那个操作有结合律 单位元:对于\(a * e = a\)则称\(e\)是集合\(A\)对于操作\(*\)(并不一定是相乘)的逆元 逆元:即有\(a * b = b * a = e\)对于元素\(a\)有逆元 置换群: 考虑这样的一个全置换集合,可以验证该集合为群.(置换不懂的话建议右转百度,这里不细说) 接下…