3944: Sum Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 6201  Solved: 1606[Submit][Status][Discuss] Description   Input 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问   Output 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2   Sample Input 6 1 2 8 13 30 2333 Sample Outp…

首先感谢又强又嘴又可爱脸还筋道的国家集训队(Upd: WC2019 进候选队,CTS2019 不幸 rk6 退队)神仙瓜 ( jumpmelon ) 给我讲解这三种筛法~~ 由于博主的鸽子属性,这篇博客可能会无限期咕咕咕 线性筛 这种算法是比较基础的筛法,在入门时就已经学习用它来筛一定范围内的质数了,因此具体算法流程无需赘述.但在筛质数的基础上,这种算法由于其优越性质在处理数论函数时也被广泛应用.这里直接给出筛出小于 \(N\) 的质数的模板. void init() { for (int i…

题面: 传送门 就是让你求$ \varphi\left(i\right) $以及$ \mu\left(i\right) $的前缀和 思路: 就是杜教筛的模板 我们把套路公式拿出来: $ g\left(1\right)S\left(n\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(g\ast f\right)\left(i\right)-\sum_{i=2}^{n}g\left(i\right)S\left(\frac ni\right) $ 其中函数$f$分别为$\varphi$以及$\…

https://www.luogu.org/problemnew/show/P4213 同 bzoj3944 考虑用杜教筛求出莫比乌斯函数前缀和,第二问随便过,第一问用莫比乌斯反演来做,中间的整除分块里的莫比乌斯前缀和刚好用第二问来做 杜教筛的时候先线性筛出前 N 个数的莫比乌斯函数前缀和,其余的用 map 记忆化搜索,实测 N 取 3670000 最佳(其实我只测了3次) #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef unsign…

传送门 分析 我们知道 $\varphi * 1 = id$ $\mu * 1 = e$ 杜教筛即可 代码 #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<string> #include<algorithm> #include<cctype> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<…

\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\) 给定一个正整数\(N(N\le2^{31}-1)\) 求 \(ans_1=\sum_{i=1}^n\varphi(i)\) \(ans_2=\sum_{i=1}^n \mu(i)\) \(\color{#0066ff}{输入格式}\) 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 \(\color{#0066ff}{输出格式}\) 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 \(\c…

3944: Sum Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 3471  Solved: 946[Submit][Status][Discuss] Description   Input 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问   Output 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2   Sample Input 6 1 2 8 13 30 2333 Sample Outpu…

题目链接 哇杜教筛超炫的 有没有见过$O(n^\frac{2}{3})$求欧拉函数前缀和的算法?没有吧?蛤蛤蛤 首先我们来看狄利克雷卷积是什么 首先我们把定义域是整数,陪域是复数的函数叫做数论函数. 然后狄利克雷卷积是个函数和函数的运算. 比如说有两个数论函数f,g 那么它们的狄利克雷卷积就是f*g,记为h 然后我们惊奇地发现$h(i)=\sum\limits_{d|i}f(d)g(\frac{i}{d})$ 而且狄利克雷卷积好像是个群,然后它就能满足交换律结合律分配律balaba 那么这个玩意…

题目描述 给定一个正整数N(N\le2^{31}-1)N(N≤231−1) 求ans_1=\sum_{i=1}^n\phi(i),ans_2=\sum_{i=1}^n \mu(i)ans1​=∑i=1n​ϕ(i),ans2​=∑i=1n​μ(i) 输入输出格式 输入格式: 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 输出格式: 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 输入输出样例 输入样例#1: 复制 6 1 2 8 13 30 2…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3944 杜教筛入门题! 看博客:https://www.cnblogs.com/zjp-shadow/p/8491542.html 写法模仿其他博客的,但很慢啊... 代码如下: #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<ma…

3944: Sum 贴模板 总结见学习笔记(现在还没写23333) #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath> using namespace std; typedef long long ll; #define pii pair<ll, ll> #define fir first #def…

板子题(卡常) 也可能是用map太慢了 /************************************************************** Problem: 3944 User: walfy Language: C++ Result: Accepted Time:9932 ms Memory:84304 kb ****************************************************************/ //#pragma GCC…

题意: 求\(\sum_{i=1}^n\varphi(i)\)和\(\sum_{i=1}^n\mu(i)\) 思路: 由性质可知:\(\mu*I=\epsilon,\varphi*I=id\)那么可得: \[S_{\varphi}(n)=\sum_{i=1}^n\varphi(i)=\frac{(n+1)n}{2}-\sum_{i=2}^nS_{\varphi}(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)\\ S_{\mu}(n)\sum_{i=1}^n\mu(i)=1-\sum_{i…

杜教筛 \(\) 是 \(\) 的前缀和,\(\), \(\) 同理. 假设 \( × = ℎ\) ,并且 \(, \) 易求出,\(\) 难求出. 那么 \[H () = \sum_{ \cdot ≤} () () = \sum_{≤} () (\frac {} {})\\ = f(1)\cdot () + \sum_{2≤≤} () (\frac {} {})\] 有: \[f(1)\cdot G(n)=H(n)-\sum_{2≤≤} () (\frac {} {}) \] 整除分块,可以在…

Part 1:杜教筛进阶在了解了杜教筛基本应用,如$\sum_{i=1}^n\varphi(i)$的求法后,我们看一些杜教筛较难的应用.求$\sum_{i=1}^n\varphi(i)*i$考虑把它与$id$函数狄利克雷卷积后的前缀和.$$\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\varphi(d)*d*\frac id=\sum_{i=1}^ni^2$$枚举$T=\frac id$,原式化为$$\sum_{T=1}^nT\sum_{d=1}^{\lfloor\frac nT\rfloor}…

题意 求 \[ \sum_{i = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} f(\gcd(i, j))^k \pmod {2^{32}} \] 其中 \(f(x)\) 为 \(x\) 的次大质因子,重复的质因子计算多次. 特别的,定义 \(f(1) = 0, f(p) = 0\) ,此处 \(p\) 为质数. 题解 首先先莫比乌斯反演前几步. \[ ans = \sum_{d = 1}^{n} f(d)^k \sum_{i = 1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloo…

P3383 [模板]线性筛素数 题目描述 如题,给定一个范围N,你需要处理M个某数字是否为质数的询问(每个数字均在范围1-N内) 输入输出格式 输入格式: 第一行包含两个正整数N.M,分别表示查询的范围和查询的个数. 接下来M行每行包含一个不小于1且不大于N的整数,即询问该数是否为质数. 输出格式: 输出包含M行,每行为Yes或No,即依次为每一个询问的结果. 输入输出样例 输入样例#1: 复制 100 5 2 3 4 91 97 输出样例#1: 复制 Yes Yes No No Yes 说明…

SUM 题意:f(n)是n可以拆成多少组n=a*b,a和b都是不包含平方因子的方案数目,对于a!=b,n=a*b和n=b*a算两种方案,求∑i=1nf(i) 首先我们可以知道,n=1时f(1)=1, 然后我们继续分析,当n为素数p时,只能拆成n=1*p和n=p*1这两种,所以f(p)=2, 而当n=两个质数的乘积时,对于n=左*右,p1跟p2可以任意分配在左和右,它们的方案是类乘的,所以f(p1*p2)=f(p1)*f(p2) 这里可以看出f(n)是个积性函数,那说明我们可以把它通过线性筛筛出来…

题目来源:https://nanti.jisuanke.com/t/A1956 题意:找一个数拆成无平方因子的组合数,然后求前缀和. 解题思路:我们可以把某个数分解质因数,如果某个数可以分解出三个相同的质数那么该f(n)=0,比如8=2*2*2,  24=2*2*2*3,所以f(8)=f(24)=0:如果该数是素数那么f(n)=2:并且我们可以发现,如果m,n互质,那么f(n*m)=f(n)*f(m): #include<iostream> #include<cstring> #i…

Problem:找出小于等于n的所有素数的个数. #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn = 1e6; int prime[maxn]; // 欧拉线性素数筛,O(n) bool vis[maxn]; // 标记 int Prime(int n) { memset(vis,false,sizeof(vis)); int cnt = 0; vis[0] = vis[1] = true; for(int i = 2;…

链接 luogu 思路 为了做hdu来学杜教筛. 杜教筛模板题. 卡常数,我加了register居然跑到不到800ms. 太深了. 代码 // luogu-judger-enable-o2 #include <bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; const int _=5000030; int vis[_],pri[_],cnt,N,limit,mu[_]; ll phi[_]; unordered_map<i…

BZOJ3944: Sum(杜教筛模板) 题面描述 传送门 题目分析 求\(\sum_{i=1}^{n}\mu(i)\)和\(\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)\) 数据范围线性不可做. 需要使用杜教筛. 杜教筛可以在非线性时间里求出一个积性函数的前缀和. 借这里先写一些杜教筛内容...或许以后会补总结(雾 最开始扔积性函数: \(\mu(n)\),莫比乌斯函数 \(\phi(n)\),欧拉函数. \(d(n)\),约数个数. \(\sigma(n)\),约数和函数. \(\eps…

Description Input 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 Output 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 Sample Input 6 1 2 8 13 30 2333 Sample Output 1 1 2 0 22 -2 58 -3 278 -3 1655470 2 正解:线性筛+杜教筛. 杜教筛板子题.然而感觉自己还不是很理解的样子.. 唐老师博客:http://blog.csdn.net/skyw…

最近重新系统地学了下这几个知识点,以前没发现他们的联系,这次总结一下. 莫比乌斯反演入门:https://blog.csdn.net/litble/article/details/72804050 线性筛筛常见积性函数及其代码:https://blog.masterliu.net/algorithm/sieve/ 积性函数与线性筛(包括普通线性函数):https://blog.csdn.net/weixin_42562050/article/details/87997582 bzoj2154/b…

1222 最小公倍数计数 题意:求有多少数对\((a,b):a<b\)满足\(lcm(a,b) \in [1, n]\) \(n \le 10^{11}\) 卡内存! 枚举\(gcd, \frac{a}{gcd}, \frac{b}{gcd}\),然后\(\mu\)代入,就是 \[ \sum_{d=1}^{\sqrt{n}}\mu(d) \sum_i \sum_j \sum_k [ijk \le \frac{n}{d^2}] \] 问题就是怎么求后面的式子了 一开始我是 \[ f(n) = \s…

hihocoder #1456 : Rikka with Lattice(杜教筛) 题意 : 给你一个\(n*m\)方格图,统计上面有多少个格点三角形,除了三个顶点,不覆盖其他的格点(包括边和内部). 答案对于\(998244353\)取模... (\(n,m \le 5 * 10^9\)) 题解 : 这个题十分的巧妙... 集训时是大佬ztzshiwo出的.. 据他所说,是不那么杜教筛的杜教筛QAQ 考试时候提示了一个皮克定理... 皮克定理: \[S=a+\frac{b}{2}-1\] \(…

题目大意: 给定\(n\le 10^9\),求: 1.\(\sum_{i=1}^n\mu(i^2)\) 2.\(\sum_{i=1}^n\varphi(i^2)\) 解释 1.\(\sum_{i=1}^n\mu(i^2)\) 直接输出1 因为对于\(\forall i>1\)有\(\mu (i^2)=0\) 2.\(\sum_{i=1}^n\varphi(i^2)\) for 杜教筛: 构造函数\(f(i)=\varphi(i^2)\),则有\(f*\mathrm{id}=id^2\),具体推导…

我也不知道什么是"莫比乌斯反演"和"杜教筛" Part0 最近一直在搞这些东西 做了将近超过20道题目吧 也算是有感而发 写点东西记录一下自己的感受 如果您真的想学会莫比乌斯反演和杜教筛,请拿出纸笔,每个式子都自己好好的推一遍,理解清楚每一步是怎么来的,并且自己好好思考. Part1莫比乌斯反演 莫比乌斯反演啥都没有,就只有两个式子(一般只用一个) 原来我已经写过一次了,再在这里写一次 就只写常用的那个吧 基本的公式 对于一个函数\(f(x)\) 设\(g(x)=\…

[LOJ#572]Misaka Network 与求和(莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛) 题面 LOJ \[ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n f(gcd(i,j))^k\] 其中\(f(x)\)表示\(x\)的次大质因子. 题解 这个数据范围不是杜教筛就是\(min\_25\)筛了吧... 看到次大质因子显然要\(min\_25\)筛了吧... 莫比乌斯反演的部分比较简单,懒得写过程了. \[ans=\sum_{T=1}^n [\frac{n}{T}]^2\sum_…

[BZOJ 3930] [CQOI 2015]选数(莫比乌斯反演+杜教筛) 题面 我们知道,从区间\([L,R]\)(L和R为整数)中选取N个整数,总共有\((R-L+1)^N\)种方案.求最大公约数刚好为K的选取方案有多少个.由于方案数较大,你只需要输出其除以1000000007的余数即可. \[N,K,L,H \leq 10^9,H-L \leq 10^5\] 分析 \(\because \gcd(ka,kb)=k\gcd(a,b)\),我们先把\(L,R\)除以\(K\),然后问题就变成了…