第一类Stirling数 首先设 $$S_k(n)=\sum_{i=0}^ni^k$$ 根据第一类斯特林数的定义(P是排列数,C是组合数,s是Stirling) $$C_n^k={P_n^k\over k!}={\sum_{i=0}^k(-1)^{i+k}s(k,i)n^i\over k!}$$ 变形得 $$ n^k ={\sum_{i=0}^{k-1}(-1)^{i+k}s(k,i)n^i}-k! C_n^k$$ $n$ 从1取到n累加, $$S_k(n)=\sum_{j=0}^n(k!C_j…

做了老是忘…… 实际问题: 找维基百科.百度百科…… 第一类Stirling数 n个元素构成m个圆排列 S(n,m)=S(n-1,m-1)+(n-1)*S(n-1,m) 初始 S(0,0)=1 S(n,0)=0(n<>0) 第n个元素: 1.形成一个新的环 原来n-1个元素,m-1个环 2.加入原来的任意一个环,插入到原来其中一个数(n-1个)的左/右边 原来n-1个元素,m个环 第二类Stirling数 n个元素分成m个集合 S(n,m)=S(n-1,m-1)+m*S(n-1,m) 初始 S…

上一道例题 我们来介绍第二类Stirling数 定义 第二类Stirling数实际上是集合的一个拆分,表示将n个不同的元素拆分成m个集合的方案数,记为 或者 .和第一类Stirling数不同的是,集合内是不考虑次序的,而圆排列是有序的.常常用于解决组合数学中几类放球模型.描述为:将n个不同的球放入m个无差别的盒子中,要求盒子非空,有几种方案? 第二类Stirling数要求盒子是无区别的,所以可以得到其方案数公式: 递推式 第二类Stirling数的推导和第一类Stirling数类似,可以从定义出…

一.第二类Stirling数 定理:第二类Stirling数S(p,k)计数的是把p元素集合划分到k个不可区分的盒子里且没有空盒子的划分个数. 证明:元素在哪些盒子并不重要,唯一重要的是各个盒子里装的是什么,而不管哪个盒子装了什么. 递推公式有:S(p,p)=1 (p>=0)         S(p,0)=0  (p>=1)         S(p,k)=k*S(p-1,k)+S(p-1,k-1)   (1<=k<=p-1) .考虑将前p个正整数,1,2,.....p的集合作为要被…

这个问题似乎有很多种求法,但感觉上第二类Strling数的做法是最方便的. 问题 求下面这个式子: ∑i=0nik\sum_{i=0}^n i^ki=0∑n​ik nnn的范围可以很大. 第二类Strling数 第二类Strling数记作S(n,m)S(n,m)S(n,m).SnmS_n^mSnm​. 定义:将nnn个相同的球放在mmm个不同的箱子里的方案数(其中的每一个箱子至少有一个球). 很容易推出一个式子:Snm=Sn−1m−1+mSn−1mS_n^m=S_{n-1}^{m-1}+mS_{…

第二类斯特林数 第二类Stirling数:S2(p, k) 1.组合意义:第二类Stirling数计数的是把p个互异元素划分为k个非空集合的方法数 2.递推公式: S2(0, 0) = 1 S2(p, 0) = 0 ( p >= 1)  显然p >= 1时这种方法不存在 S2(p, p) = 1  显然这时每个元素看为一个集合 S2(p, k) = k * S2(p - 1, k) + S2(p - 1, k - 1) 考虑将1,2,3,...,p划分为k个非空集合,考虑p ⑴将p单独划分为一…

题目链接 题意 : 就是让你求个自然数幂和.最高次可达 1e6 .求和上限是 1e9 分析 :  题目给出了最高次 k = 1.2.3 时候的自然数幂和求和公式 可以发现求和公式的最高次都是 k+1 那么大胆猜测幂为 k 的自然数幂和肯定可以由一个最高次为 k+1 的多项式表示 不会证明,事实也的确如此 此时就变成了一个拉格朗日插值的模板题了 只要先算出 k+2 个值.然后就能确定最高次为 k+1 的多项式 套模板求值即可 当然自然数幂和不止这一种做法.例如伯努利数.斯特林数等 详细可参考 ==…

自然数幂和: (1) 伯努利数的递推式: B0 = 1 (要满足(1)式,求出Bn后将B1改为1 /2) 参考:https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/38929067 使用分数类,代入求解 #include<cstdio> #include<iostream> #include<cstdlib> #include<…

题目链接:http://lightoj.com/volume_showproblem.php?problem=1326 题意:有n匹马赛跑.问有多少种不同的排名结果.可以有多匹马的排名相同. 思路:排名相同的算作一组,那么最后的排名有1.2……n组,都有可能.那么对于有m组的,首先我们需要计算出n匹马分成m组有多少种分法,这就是第二类Stirling数,设为S(n,m),设a[m]表示m!,那么最后答案就是ans=sum(S(n,i)*a[i])(1<=i<=n). 第二类Stirling数:…

[题意]给定k<=123,a,n,d<=10^9,求: $$f(n)=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=1}^{a+id}\sum_{x=1}^{j}x^k$$ [算法]拉格朗日插值 [题解]参考:拉格朗日插值法及应用 by DZYO 虽然式子很复杂,但一点一点化简有条理的化简后就可以做了. 首先最后是一个自然数幂和: $$\sum_{x=1}^{j}x^k$$ 这是一个k+1次多项式,可以理解为k+一个Σ(一般一个Σ增加一次项). 然后会发现最后部分和第二部分之间不需要插值,因为第…