传送门 $anti-nim$游戏,$SJ$定理裸题 规定所有单一游戏$sg=0$结束 先手必胜: $1.\ sg \neq 0,\ 某个单一游戏sg >1$ $2.\ sg = 0,\ 没有单一游戏 sg > 1$ 话说那个$J$竟然是$JiaZhihao$ Orz #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespa…

前言 在上一节中,我们初步了解了一下SG函数与SG定理. 今天我们来分析一下SG游戏的变式--Anti-SG游戏以及它所对应的SG定理 首先从最基本的Anti-Nim游戏开始 Anti-Nim游戏是这样的 有两个顶尖聪明的人在玩游戏,游戏规则是这样的: 有\(n\)堆石子,两个人可以从任意一堆石子中拿任意多个石子(不能不拿),拿走最后一个石子的人失败.问谁会胜利 博弈分析 Anti-Nim游戏与Nim游戏唯一的不同就是两人的胜利条件发生了改变,不过这并不影响我们对结论的推导 对于这个游戏,先手必…

Description 小约翰经常和他的哥哥玩一个非常有趣的游戏:桌子上有n堆石子,小约翰和他的哥哥轮流取石子,每个人取的时候,可以随意选择一堆石子,在这堆石子中取走任意多的石子,但不能一粒石子也不取,我们规定取到最后一粒石子的人算输.小约翰相当固执,他坚持认为先取的人有很大的优势,所以他总是先取石子,而他的哥哥就聪明多了,他从来没有在游戏中犯过错误.小约翰一怒之前请你来做他的参谋.自然,你应该先写一个程序,预测一下谁将获得游戏的胜利. Input 本题的输入由多组数据组成第一行包括一个整数T,…

PP and QQ Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 510    Accepted Submission(s): 256 Problem Description PP and QQ were playing games at Christmas Eve. They drew some Christmas trees on…

这次,我们来继续学习博弈论的知识.今天我们会学习更多的基础模型,以及SJ定理的应用. 首先,我们来看博弈论在DAG上的应用.首先来看一个小例子:在一个有向无环图中,有一个棋子从某一个点开始一直向它的出点移动,双方轮流操作,无法操作者输,问是否先手必胜. 考虑一下我们之前的Nim游戏,如果我们把后继状态看成后继点的话,不难发现Nim游戏的互相转移也是一个DAG.因此,DAG上出度为0的点的sg值为0,再用上一篇博客提到的mex操作来求每个点的值就可以了(注意,这并不是一个“大”子图,不能拆成子游戏…

Multi-Nim 从最简单的Nim模型开始 它的定义是这样的 有\(n\)堆石子,两个人可以从任意一堆石子中拿任意多个石子(不能不拿)或把一堆数量不少于\(2\)石子分为两堆不为空的石子,没法拿的人失败.问谁会胜利 博弈分析 这个问题的本质还是Nim游戏,可以利用SG定理来解释 通过观察不难不发现,操作一与普通的Nim游戏等价 操作二实际上是将一个游戏分解为两个游戏,根据SG定理,我们可以通过异或运算把两个游戏连接到一起,作为一个后继状态 煮个栗子 SG(3)的后继状态有\(\{ (0),(1…

Every-SG 给定一张无向图,上面有一些棋子,两个顶尖聪明的人在做游戏,每人每次必须将可以移动的棋子进行移动,不能移动的人输 博弈分析 题目中的要求实际是"不论前面输与否,只要最后一个棋子胜利,那么就算胜利" 这样的话,能赢得游戏必须赢 因为两个人都顶尖聪明,因此当一个人知道某一个游戏一定会输的话,它一定会尽力缩短游戏的时间,当它知道某一个游戏一定会赢的话,一定会尽力延长游戏的时间(毕竟都是为了追求最终的胜利嘛233) 但是!我们怎么来处理时间的?暴力枚举博弈树肯定是不可取的,so…

题意:n堆石头,拿走最后一块的输 思路:SJ定理:先手必胜当且仅当:(1)游戏的SG函数不为0且游戏中某个单一游戏的SG函数大于1:(2)游戏的SG函数为0且游戏中没有单一游戏的SG函数大于1. 参考:[博弈]Anti,Multi,Every-SG 代码: #include<set> #include<map> #include<stack> #include<cmath> #include<queue> #include<vector&g…

——博弈论?上SG定理!什么?不行?那就SJ定理吧. 原来还有这么个玩意... bzoj1022. 大意是Nim取石子游戏中取到最后一个石子就算输,即无法取了就获胜(原版是无法取了就输). 我们试图套SG定理...$SG_0$=?? 比如我令SG[0]=1,那么问题来了:两堆石子,个数均为0,应该是先手必胜,但$SG_0 \oplus SG_0 = 0$,所以不合法. SJ定理: 若把SG游戏中的空状态定义为必胜状态,那么状态是先手必胜当且仅当下述条件同时成立或同时不成立: 1: $SG_S =…

与传统的SG游戏不同的是,完成最后一个状态的人是输的,我们把这一类问题称作Anti-SG,这类问题的解决我们需要引入一个定理—SJ定理: 对于任意一个Anti-SG游戏,如果我们规定当局面中所有的单一游戏的SG值为0时,游戏结束,则先手必胜当且仅当:(1)游戏的SG函数不为0且游戏中某个单一游戏的SG函数大于1:(2)游戏的SG函数为0且游戏中没有单一游戏的SG函数大于1.         (引自2009年国家集训队论文贾志豪论文<组合游戏概述——浅谈SG游戏的若干拓展及变形>) 这样对于这个…