居然扒到了学长出的题 和3944差不多(?),虽然一眼看上去很可怕但是仔细观察发现,对于mu来讲,答案永远是1(对于带平方的,mu值为0,1除外),然后根据欧拉筛的原理,\( \sum_{i=1}^{n}\phi(i^2)=\sum_{i=1}^{n}\phi(i)*i \),然后就可以正常推了: 设 \[ g(n)=\sum_{i=1}^{n}i\sum_{d=1}^{i}[d|i]\phi(d)=\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \] \[ s…

Description 很久很久以前,有一只神犇叫yzy; 很久很久之后,有一只蒟蒻叫lty; Input 请你读入一个整数N;1<=N<=1E9,A.B模1E9+7; Output 请你输出一个整数 $A=\sum_{i=1}^N{\mu (i^2)}$ ; 请你输出一个整数 $B=\sum_{i=1}^N{\varphi (i^2)}$ ; Sample Input 1 Sample Output 1 1 题解 首先注意到 $A$ 直接输出 $1$ 得满分.因为只有 $\mu(1^2)=1…

Description 很久很久以前,有一只神犇叫yzy; 很久很久之后,有一只蒟蒻叫lty; Input 请你读入一个整数N;1<=N<=1E9,A.B模1E9+7; Output 请你输出一个整数A=\sum_{i=1}^N{\mu (i^2)}; 请你输出一个整数B=\sum_{i=1}^N{\varphi (i^2)}; Sample Input 1 Sample Output 1 1 Solution 完全不知道第一问是用来干嘛的....反正都是1 第二问,显然,\(\varphi(…

题目大意: 读入n. 第一行输出“1”(不带引号). 第二行输出$\sum_{i=1}^n i\phi(i)$. 题解: 所以说那个$\sum\mu$是在开玩笑么=.= 设$f(n)=n\phi(n),F(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)$. 设$g=(f*id)$,则$g(n)=\sum_{d|n}id(\frac{n}{d})f(d)=n^2$. 设$G(n)=\sum_{i=1}^n g(i)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. 同时将$G$完全展开我们得到: $G…

用mu写lcm那道卡常卡成狗(然而最后也没卡过去,于是写一下gcd冷静一下 首先推一下式子 \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}gcd(i,j) \] \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{d=1}^{n}[gcd(i,j)==d]d \] \[ \sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)==d] \] \[ \sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\left…

P4213 [模板]杜教筛(Sum) 题目描述 给定一个正整数$N(N\le2^{31}-1)$ 求 $$ans_1=\sum_{i=1}^n\varphi(i)$$ $$ans_2=\sum_{i=1}^n \mu(i)$$ 输入输出格式 输入格式: 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 输出格式: 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 输入输出样例 输入样例#1: 复制 6 1 2 8 13 30 2333 输出样例#1…

[BZOJ4916]神犇和蒟蒻(杜教筛) 题面 BZOJ 求 \[\sum_{i=1}^n\mu(i^2)\ \ 和\ \sum_{i=1}^n\phi(i^2)\] 其中\[n<=10^9\] 题解 第一问 搞笑的 不会做? 算了.. 还是说一下: 想想\(\mu(x)\)是怎么算的??? 既然是\(i^2\),每个因数的个数一定不会是\(1\) 所以除了\(\mu(1)\)外一定都是\(0\) 所以第一问的答案一定是\(1\) 第二问: 先看看要求的是什么 \(\phi(i^2)=i*\ph…

[BZOJ4916]神犇和蒟蒻 Description 很久很久以前,有一群神犇叫sk和ypl和ssr和hjh和hgr和gjs和yay和xj和zwl和dcx和lyy和dtz和hy和xfz和myh和yww和zjt; 很久很久之后,有一只蒟蒻叫ypl,被神犇myh的做题记录碾在地上; Input ​ 请你读入一个整\(N\); Output ​ 请你输出一个整数\(A=\sum_{i=1}^n\mu(i^2);(\bmod1000000007)\) ​ 请你输出一个整数\(B=\sum_{i=1}^…

[BZOJ4805]欧拉函数求和(杜教筛) 题面 BZOJ 题解 好久没写过了 正好看见了顺手切一下 令\[S(n)=\sum_{i=1}^n\varphi(i)\] 设存在的某个积性函数\(g(x)\) \[(g*\varphi)(i)=\sum_{d|i}g(d)\varphi(\frac{i}{d})\] \[\sum_{i=1}^n(g*\varphi(i))(i)\] \[=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}g(d)\varphi(\frac{i}{d})\] \[=\sum…

[BZOJ 3930] [CQOI 2015]选数(莫比乌斯反演+杜教筛) 题面 我们知道,从区间\([L,R]\)(L和R为整数)中选取N个整数,总共有\((R-L+1)^N\)种方案.求最大公约数刚好为K的选取方案有多少个.由于方案数较大,你只需要输出其除以1000000007的余数即可. \[N,K,L,H \leq 10^9,H-L \leq 10^5\] 分析 \(\because \gcd(ka,kb)=k\gcd(a,b)\),我们先把\(L,R\)除以\(K\),然后问题就变成了…