题意 题目链接 Sol 首先考虑当\(n = p^x\),其中\(p\)是质数,显然它的因子只有\(1, p, p^2, \dots p^x\)(最多logn个) 那么可以直接dp, 设\(f[i][j]\)表示经过了\(i\)轮,当前数是\(p^j\)的概率,转移的时候枚举这一轮的\(p^j\)转移一下 然后我们可以把每个质因子分开算,最后乘起来就好了 至于这样为什么是对的.(开始瞎扯),考虑最后的每个约数,它一定是一堆质因子的乘积,而每个质因子的概率我们是知道的,所以这样乘起来算是没问题的.…

link 题目大意:给您一个数 n, 每次从n的所有约数(包含1.n)中等概率选出一个约数替换n,重复操作k次,求最后结果期望值%1e9+7. 题解:考虑暴力,我们设f(n,k)代表答案,则有f(n,k)=sum_{d|n}f(d,k-1).f(n,0)=n. 我们发现如果把n分解质因数,最后结果就是所有质因子若干次方结果乘积(f是积性函数). 分解质因数后,我们设g(n,k)代表p^n次方执行k次的结果,由于n是log级别的,所以可以直接dp了. 最后得到了p^0…p^n的分布,加起来乘到答案…

题目地址:CF1097D Makoto and a Blackboard 首先考虑 \(n=p^c\) ( \(p\) 为质数)的情况,显然DP: 令 \(f_{i,j}\) 为第 \(i\) 次替换后出现 \(p^j\) 的概率 边界: \[f_{0,c}=1\] 状态转移方程: \[f_{i,j}=\sum_{t=j}^{c} \frac{f_{i-1,t}}{t+1}\] 目标: \[\sum_{j=0}^{c}\ f_{k,j}\ p^j\] 考虑一般情况,将 \(n\) 分解质因数:…

[Luogu-CF1097D] 给定 \(n,k\)一共会进行 \(k\) 次操作 , 每次操作会把 \(n\) 等概率的变成 \(n\) 的某个约数 求操作 \(k\) 次后 \(n\) 的期望是多少 题解 \(f[i][j]\) 表示以某质数的 \(i\) 次方经过 \(j\) 次操作后的结果 发现答案是积性的 , 质因数分解后转移 \(f[n][k]∗f[m][k]=f[nm][k] (gcd(n,m)=1)\) 对于\(f[i][j]\)的转移 : \(f[i][j]=\frac{1}{…

传送门 比赛秒写完ABC结果不会D--最后C还fst了qwq 首先可以想到一个约数个数\(^2\)乘上\(K\)的暴力DP,但是显然会被卡 在\(10^{15}\)范围内因数最多的数是\(978217616376000=2^6 \times 3^4 \times 5^3 \times 7^2 \times 11 \times 13 \times 17 \times 19 \times 23 \times 29\),它有\(26880\)个因数 但是不难发现:在我们的答案中参与计算的只有约数个数函…

Hello 2019 D 题意: 给定一个n,每次随机把n换成它的因数,问经过k次操作,最终的结果的期望. 思路: 一个数可以表示为质数的幂次的积.所以对于这个数,我们可以分别讨论他的质因子的情况. 假设质因子x的指数是j,那么这个质因子下一步可以变到的情况就有(j+1)种可能,利用概率DP算出k步操作后每个x的不同幂次的概率,然后求出期望. 把每个质因子的情况算出来的期望乘起来即可. #include <algorithm> #include <iterator> #includ…

Makoto and a Blackboard time limit per test 2 seconds memory limit per test 256 megabytes input standard input output standard output Makoto has a big blackboard with a positive integer nn written on it. He will perform the following action exactly k…

题目链接:传送门 题目大意: 给出一个整数n写在黑板上,每次操作会将黑板上的数(初始值为n)等概率随机替换成它的因子. 问k次操作之后,留在黑板上的数的期望. 要求结果对109+7取模,若结果不是整数,则用分数表示,并对109+7取逆元. (1 ≤ n ≤ 1015, 1 ≤ k ≤ 104) 思路: 首先我们要知道,在模109+7的范围内,可以任意进行模109+7的加减乘除运算,因为一个给定的数值,它在模109+7条件下的值是唯一确定的. 然后我们只要正常地计算,在每次运算之后对109+7取模…

更好的阅读体验 Description 给定一个数 \(n\),对它进行 \(k\) 次操作,每次将当前的数改为自己的因数,包括 \(1\) 和自己.写出变成所有因数的概率是相等的.求 \(k\) 次以后 \(n\) 期望会变成多少 Input 一行两个整数 \(n,k\) Output 一行一个整数代表答案 Hint \(1~\leq~n~\leq~10^{15}~,~1~\leq~k~\leq~10^4\) Solution Hello 2019! 我们考虑整个数字变化的树形图: 以 \(n…

题目传送门 题目大意: 给出一个n和k,每次操作可以把n等概率的变成自己的某一个因数,(6可以变成1,2,3,6,并且概率相等),问经过k次操作后,期望是多少? 思路:数学和期望dp  好题好题!! 直接考虑n到因子很难做,所以要研究从n到因子的一些性质. 如果一个数可以写成,p^c这样的形式,并且p是质数,那么如果把这个数进行上述的操作,他可以变成的形式必然是p^x(0<=x<=c),并且每个数的概率是平均的. 所以对于这样的数,我们可以得出dp方程,i表示第几次操作,j表示p^j. dp[…