概念 在数学中,辗转相除法,又称欧几里得算法(英语:Euclidean algorithm),是求最大公约数的算法. 证明 首先假设有两个数a和b,其中a是不小于b的数,记a被b除的余数为r,那么a可以写成这样的形式: a = b*q + r 假设a和b的一个约数为u,那么a和b都能被u整除,即: a = su b = tu 带入原式可得 su = (tu)q + r r = su - (tu)q r = u*(s-tq) 所以 u 也是r 的公约数,即 a和b的约数也整除它们的余数r,所以a和…

@(学习笔记)[扩展欧几里得] 本以为自己学过一次的知识不会那么容易忘记, 但事实证明, 两个星期后的我就已经不会做扩展欧几里得了...所以还是写一下学习笔记吧 问题概述 求解: \[ax + by = (a, b)\] Hint: \((a, b)\)表示\(gcd(a, b)\) 分析解决 根据欧几里得算法(辗转相除法), \[(a, b) = (b, a \% b)\] 所以有\[ax + by = (a, b) = (b, a \% b) = bx' + (a \% b)y'\] 故我们…

相信大家对欧几里得算法,即辗转相除法不陌生吧. 代码如下: int gcd(int a, int b){ return !b ? gcd(b, a % b) : a; } 而扩展欧几里得算法,顾名思义就是对欧几里得算法的扩展. 切入正题: 首先我们来看一个问题: 求整数x, y使得ax + by = 1, 如果gcd(a, b) != 1, 我们很容易发现原方程是无解的.则方程ax + by = 1有正整数对解(x, y)的必要条件是gcd(a, b) = 1,即a, b 互质. 此时正整数对解…

一.欧几里得算法 名字非常高大上的不一定难,比如欧几里得算法...其实就是求两个正整数a, b的最大公约数(即gcd),亦称辗转相除法 需要先知道一个定理: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b) (其中a mod b != 0)  或  b (其中a mod b == 0) 证明: 后半部分呢...是废话,于是只要证明前半部分即可. 不妨设g = gcd(a, b),于是有 a = g * A, b = g * B 且 (A, B) = 1 故gcd(b, a mod b) =…

求最小公约数,最easy想到的是欧几里得算法,这个算法也是比較easy理解的,效率也是非常不错的. 也叫做辗转相除法. 对随意两个数a.b(a>b).d=gcd(a.b),假设b不为零.那么gcd(a,b)=gcd(b.a%b) 证明: 令 r=a%b,即存在k,使得 a=b*k+r,那么r=a-b*k:显然r>=0,  r%d=((a%d)-(b*k)%d)%d.由于a%d=b%d=0,所以r%d=0: 因此求gcd(a,b)能够转移到求gcd(b,a%b).那么这就是个递归过程了.那什么时…

greatest common divisor(最大公约数) 1.欧几里得算法 欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个正整数a,b的最大公约数. 其计算原理依赖于下面的定理: 两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数相除余数的最大公约数. 最大公约数(greatest common divisor)缩写为gcd. gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (不妨设a>b 且r=a mod b ,r不为0),以此辗转相除得到最终结果.   证明: a可以表示成a = kb + r…

求a,b的最大公约数我们经常用欧几里得算法解决,也称辗转相除法, 代码很简短, int gcd(int a,int b){ return (b==0)?a:gcd(b,a%b); } 但其中的道理却很深刻,完全理解不简单,以前都只是记一下代码,今天研究了很久,才差不多理解了其中的原因 从代码可以看出,gcd(a,b)=gcd(b,a%b),关键就在于证明这个等式 证明如下, 设c=gcd(a,b),则a=kc,b=nc(n,c为正整数), 设r=a%b,可得r=a-mb(m为a/b向下取整),…

在讲解扩展欧几里得之前我们先回顾下辗转相除法: \(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)当a%b==0的时候b即为所求最大公约数 好了切入正题: 简单地来说exgcd函数求解的是\(ax+by=gcd(a,b)\)的最小正整数解.根据数论的相关知识,一定存在一组解\(x,y\)使得\(ax+by=gcd(a,b)\).那就来谈谈具体如何来求解吧. 根据辗转相除法的内容\(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)我们可以得到:\[ax_1+by_1=gcd(a,b)=gcd(b,a\%…

Euclid算法(gcd) 在学习扩展欧几里得算法之前,当然要复习一下欧几里得算法啦. 众所周知,欧几里得算法又称gcd算法,辗转相除法,可以在\(O(log_2b)\)时间内求解\((a,b)\)(a,b的最大公约数). 其核心内容可以陈述为:\((a,b)=(b,a\%b)\),然后反复迭代该式缩小\(a,b\)规模,直到\(b=0\),得到a为最大公约数. 证明 设两数为\(a\ b(b<a)\),求它们最大公约数的步骤如下:用\(b\)除\(a\),即\(a/b=q-..r\),得\(a…

[题目]#6392. 「THUPC2018」密码学第三次小作业 / Rsa [题意]T次询问,给定正整数c1,c2,e1,e2,N,求正整数m满足: \(c_1=m^{e_1} \ \ mod \ \ N\) \(c_2=m^{e_2} \ \ mod \ \ N\) 保证\(c_1,c_2,e_1,e_2 \leq N,2^8 < N < 2^{63},T \leq 10^4,(e_1,e_2)=1,(m,N)=1\). [算法]扩展欧几里得算法 我们最终要求\(m\),而已知\(m^{e_…