题目来源:id=2480" style="color:rgb(106,57,6); text-decoration:none">POJ 2480 Longge's problem 题意:求i从1到n的gcd(n, i)的和 思路:首先假设m, n 互质 gcd(i, n*m) = gcd(i, n)*gcd(i, m) 这是一个积性函数积性函数的和还是积性函数 由欧拉函数知识得 phi(p^a) = p^a - p^(a-1) p是素数 a是正整数 得到终于答案f(n)…

题意: 求f(n)=∑gcd(i, N) 1<=i <=N. 分析: f(n)是积性的数论上有证明(f(n)=sigma{1<=i<=N} gcd(i,N) = sigma{d | n}phi(n / d) * d ,后者是积性函数),能够这么解释:当d是n的因子时,设1至n内有a1,a2,..ak满足gcd(n,ai)==d,那么d这个因子贡献是d*k,接下来证明k=phi(n/d):设gcd(x,n)==d,那么gcd(x/d,n/d)==1,所以满足条件的x/d数目为phi(…

题意:求∑gcd(i,n),1<=i<=n思路:f(n)=∑gcd(i,n),1<=i<=n可以知道,其实f(n)=sum(p*φ(n/p)),其中p是n的因子.为什么呢?原因如下:1到n中有m个数字和n拥有公共的最大因子p,那么就需要把m*p加入答案中.问题是如何计算m的个数.因为假设某个数i与n的最大公约数为p,那么gcd(i,n) = p,可以得到gcd(i/p,n/p)=1.也就是说,有多少个i,就有多少个i/p与n/p互质.那么显然m即为n/p的欧拉函数φ(n/p). 知…

题目: Longge is good at mathematics and he likes to think about hard mathematical problems which will be solved by some graceful algorithms. Now a problem comes: Given an integer N(1 < N < 2^31),you are to calculate ∑gcd(i, N) 1<=i <=N. "Oh…

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6265 题目大意:首先T是测试组数,n代表当前这个数的因子的种类,然后接下来的p和q,代表当前这个数的因子中含有p的q次方.然后让你求题目第一行给你的信息. 首先理一下思路. 第一步,我们需要算题目中要求的公式(第一行),首先,他是一个积性函数,所以我们先将题目中的第一行的式子命名为F(n).对于F(n),我们可以分着求他的每一个因子的解,然后最终将这一写乘起来就可以了. F(n) = F(p1^q1…

通式: $\phi(x)=x(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_3}) \cdots (1-\frac{1}{p_n})$ 若n是质数p的k次幂:$\phi(n)=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}$,因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质. 设n为正整数,以$\phi(n)$表示不超过n且与n互素的正整数的个数,称为n的欧拉函数值,这里函数φ:N→N,n→φ(n)称为欧拉函数. 欧拉函数是积性函数——若m,n互质, $\p…

本题题解 题目传送门:https://www.luogu.org/problem/P2303 给定一个整数\(n\),求 \[ \sum_{i=1}^n \gcd(n,i) \] 蒟蒻随便yy了一下搞出来个\(O(\sqrt{n})\)的算法 这题数据怎么这么水 首先看到gcd我们就下意识的对它反演一波对吧 第一步 \[ \sum_{i=1}^n \gcd(n,i) = \sum_{d|n} \varphi(d) \frac{n}{d} \] 这里提供两种化法,得到的结果都是这个. 法一 根据欧…

题意: 给你一个正整数n,问你在区间[1,n)中有多少数与n互质 题解: 1既不是合数也不是质数(1不是素数) 互质是公约数只有1的两个整数,叫做互质整数.公约数只有1的两个自然数,叫做互质自然数 所以1与任何整数都互质 根据欧拉函数求解 欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目. 欧拉函数的性质:它在整数n上的值等于对n进行素因子分解后,所有的素数幂上的欧拉函数之积. 欧拉函数的值 通式:φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)-..(1-1/pn),…

Description Longge is good at mathematics and he likes to think about hard mathematical problems which will be solved by some graceful algorithms. Now a problem comes: Given an integer N(1 < N < 2^31),you are to calculate ∑gcd(i, N) 1<=i <=N. …

传送门 Longge's problem Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 7327   Accepted: 2416 Description Longge is good at mathematics and he likes to think about hard mathematical problems which will be solved by some graceful algorithms.…