完全平方数 小 X 自幼就很喜欢数.但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数.他觉得这些数看起来很令人难受.由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数.然而这丝毫不影响他对其他数的热爱.  这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物.当然他不能送一个小X讨厌的数.他列出了所有小X不讨厌的数,然后选取了第 K个数送给了小X.小X很开心地收下了.  然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了.你能帮他一下吗? 还记得第一次接触这道题是一年前吧..那时候参加了一场某OJ的比赛 然后并不会做..在…

如果能够知道不大于n的合法数有多少个,显然就可以二分答案了. 考虑怎么求这个.容易想到容斥,即枚举完全平方数.我们知道莫比乌斯函数就是此种容斥系数.筛出来就可以了. 注意二分时会爆int. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace…

完全平方数 HYSBZ - 2440 小 X 自幼就很喜欢数.但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数.他觉得这些 数看起来很令人难受.由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数.然而 这丝毫不影响他对其他数的热爱. 这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物.当然他不能送一 个小X讨厌的数.他列出了所有小X不讨厌的数,然后选取了第 K个数送给了 小X.小X很开心地收下了. 然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了.你能帮他一下吗? Input 包含多组测试数据.文件第一行有一个整数 T…

题目链接:BZOJ - 2440 题目分析 首先,通过打表之类的方法可以知道,答案不会超过 2 * k . 那么我们使用二分,对于一个二分的值 x ,求出 [1, x] 之间的可以送出的数有多少个. 怎么来求呢?我们使用容斥原理. 先求出不能送的数(即含有平方因子的数)有多少个,然后用总数减去就可以了. 那么,就是 含有一个质数平方因子的数(2^2的倍数 + 3^2的倍数 + 5^2的倍数....) - 含有两个质数平方因子的数((2 * 3)^2的倍数 + (2 * 5)^2的倍数 + ...…

题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2568#sub 题目大意: 计算​$\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^n [gcd(x,y)==prime]​$ 题解: 解法一:莫比乌斯反演套路题 其实这样就可以了,但是还可以优化一下子 设​​T=dp ​ 整除分块就好了,其实这就和 yy的gcd 一样了 解法二:欧拉函数 考虑上面的第一个式子​可以化简成 ​ tot是n以内质数的数量 这是因为考虑到每次都两次计算了​$\varphi(1)$…

emmm....... 数学题都不友好QAQ...... Code: #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cmath> #include <cstring> #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) #define maxn 50080 const long long inf = 1844387848; #defi…

interlinkage: https://nanti.jisuanke.com/t/38226 description: solution: 显然$\frac{\phi(j^2)}{\phi(j)}=j,\frac{\phi(k^3)}{\phi(k)}=k^2$ 原式可以化简为 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^{n}jk^2\phi(gcd(i,j,k))$ 我们枚举$gcd(i,j,k)$,得 $\sum_{d=1}^{n}\phi(d)\sum…

题目链接: https://jzoj.net/senior/#main/show/6084 https://www.luogu.org/problemnew/show/P4916 题目: 题解: 注:本题解大部分摘自Imagine大佬提供在洛谷的题解 我们设$f(x)$表示最小循环节长度为x的合法序列数,那么有$ans=\sum_{d|gcd(n,m)}\frac{1}{d}f(d)$ 这是因为最小循环节为d的序列对应的环会被计算d次,比如 0101,最小循环节长度为 2(循环节为 01),其对…

题目本质: 首先有如下结论: 而通过写一写可以发现: 举例来讲,36及其倍数的数,会被1的倍数加一遍,被4的倍数扣一遍,会被9的倍数扣一遍,而为了最终计数为0,需要再加回来一遍,所以在容斥里面是正号. 对于36有:6 = 2 * 3,mu[6] = 1:而同时对比16有:4 = 2 * 2,mu[4] = 0:9有:3 = emmm,mu[3] = -1. 枚举到2时,2*2的倍数被扣一遍:枚举到3时,3*3的倍数被扣一遍:枚举到4时,因为它最终只需要扣一遍,而现在已经满足了,所以跳过:枚举到6…

完全平方数 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MB[Submit][Status][Discuss] Description 小X自幼就很喜欢数. 但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数. 他觉得这些数看起来很令人难受. 由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数. 然而这丝毫不影响他对其他数的热爱. 这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物. 当然他不能送一个小X讨厌的数.他列出了所有小X不讨厌的数,然后选取了第 K个数送给了小X. 小X很开心…

题意:求第k个分解质因子后质因子次数均为一的数,即求第k个无平方因子数. 题解: 首先二分答案mid,那么现在就是要求出mid以内的无平方因子数的个数. 其次枚举$\sqrt{mid}$内的所有质数,由容斥原理 $Num=0个质数平方的倍数的数量(1的倍数)-1个质数平方的倍数的数量(9,25...的倍数)$ $+2个质数平方的倍数的数量(36,100...的倍数)...$ 可以发现对于一个数x,x的倍数数量对答案的贡献符号为$\mu(x)$. 例如:9的倍数数量最答案的贡献是$\mu(9)\l…

题意:找到第k个无平方因子数. 解法:这道题非常巧妙的运用了莫比乌斯函数的性质! 解法参考https://www.cnblogs.com/enzymii/p/8421314.html这位大佬的.这里我说下自己的理解: 首先看到K这么大,想到可能要二分答案.那么我们二分答案M,问题就变成计算<=M的数有多少个无平方因子数. 我们考虑这样一个算法:枚举<=M的每一个无平方因子数,然后枚举它的倍数将其去掉.但是这个方法有一个问题就是会重复删除,例如一个数 2*3*5 ,他会被2/3/5分别删除一次,…

bzoj2440 题意 求第 k 个不是完全平方数(除 1 以外)的正倍数的数. 分析 利用二分法求解,二分 x ,判断 x 是否是第 k 个数即可,那么我们就要计算 [1, x] 有几个符合条件的数. 首先本题用到容斥原理的思想, sum = 1 的倍数的数的个数 - (4, 8, 9, ) 这些质因子个数为 1 的平方的倍数的数的个数 + (36, ) 这些质因子个数为 2 的平方的倍数的数的个数 ... 而根据莫比乌斯函数 \(\mu(n)\) 的定义: 设 \(n = p_1 ^ {k_…

2440: [中山市选2011]完全平方数 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 3028  Solved: 1460[Submit][Status][Discuss] Description 小 X 自幼就很喜欢数.但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数.他觉得这些数看起来很令人难受.由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数.然而这丝毫不影响他对其他数的热爱. 这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物.当然他不能送一个小X讨厌…

Description 小 X 自幼就很喜欢数.但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数.他觉得这些 数看起来很令人难受.由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数.然而 这丝毫不影响他对其他数的热爱. 这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物.当然他不能送一 个小X讨厌的数.他列出了所有小X不讨厌的数,然后选取了第 K个数送给了 小X.小X很开心地收下了. 然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了.你能帮他一下吗? Input 包含多组测试数据.文件第一行有一个整数 T,表示测试 数…

先二分答案m,<=m的有m-∑(m/pi*pi)+∑(m/pi*pi*pj*pj)-……个符合题意的(容斥原理), 容斥系数就是莫比乌斯函数μ(预处理)... ------------------------------------------------------------------------ #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath>   us…

2440: [中山市选2011]完全平方数 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 4805  Solved: 2325[Submit][Status][Discuss] Description 小 X 自幼就很喜欢数.但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数.他觉得这些数看起来很令人难受.由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数.然而这丝毫不影响他对其他数的热爱. 这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物.当然他不能送一个小X讨厌…

题目 题意:第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数. 对于一个数t,t以内的数里的非完全平方数倍数的个数:num=1的倍数的数量−一个质数平方数(9,25,49...)的倍数的数量+两个质数的积平方数(36,100,225...)的数量−三个质数balabala-- 所以   (然而这一坨是怎么推出来的呢?) u(i)就是莫比乌斯函数 求莫比乌斯函数代码: //递推 ll mu[100005]; void mobius(ll mn) { mu[1]=1; for(ll i=1;i<=mn;i++…

BZOJ 2440 [中山市选2011]完全平方数 | 莫比乌斯函数 题面 找出第k个不是平方数的倍数的数(1不是平方数, \(k \le 10^9\)). 题解 首先二分答案,问题就转化成了求\([1, x]\)中有多少数不是平方数的倍数,设这个答案为\(Q(x)\). 根据容斥原理,\(Q(x)\)等于: [1, x] 0个质数的平方的倍数的数量(1的倍数的数量) [1, x] 1个质数的平方的倍数的数量 (如\(3^2=9\)的倍数的数量) [1, x] 2个质数的平方的倍数的数量 (如\…

2440: [中山市选2011]完全平方数 Description 小 X 自幼就很喜欢数.但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数.他觉得这些数看起来很令人难受.由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数.然而这丝毫不影响他对其他数的热爱. 这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物.当然他不能送一个小X讨厌的数.他列出了所有小X不讨厌的数,然后选取了第 K个数送给了小X.小X很开心地收下了. 然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了.你能帮他一下吗? Input 包含多组测试数据.文…

莫比乌斯值+容斥+二分 /** 题目:bzoj2440 完全平方数 链接:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2440 题意:求第k个小x数.小x数是指不存在某个素因子次数>=2.1也是小x数. 思路:二分x,求[1,x]有多少个小x数.如果一个数是某个素数的平方的倍数,那么不是小x数. 所以要减去.2^2的倍数, 3^2的倍数, 5^2的倍数. 由于减去2的平方的倍数和3的平方的倍数把6的平方的倍数多减去了一次.所以要加回去. ans…

Description 小 X 自幼就很喜欢数.但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数.他觉得这些数看起来很令人难受.由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数.然而这丝毫不影响他对其他数的热爱. 这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物.当然他不能送一个小X讨厌的数.他列出了所有小X不讨厌的数,然后选取了第 K个数送给了小X.小X很开心地收下了. 然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了.你能帮他一下吗? Input 包含多组测试数据.文件第一行有一个整数 T,表示测试数据的组数.…

2440: [中山市选2011]完全平方数 Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MB Description 小 X 自幼就很喜欢数.但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数.他觉得这些 数看起来很令人难受.由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数.然而 这丝毫不影响他对其他数的热爱. 这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物.当然他不能送一 个小X讨厌的数.他列出了所有小X不讨厌的数,然后选取了第 K个数送给了 小X.小X很开心地收下了. 然而现在…

[剑指Offer]包含min函数的栈 解题报告 标签(空格分隔): 牛客网 题目地址:https://www.nowcoder.com/questionTerminal/beb5aa231adc45b2a5dcc5b62c93f593?orderByHotValue=1&page=1&onlyReference=false 题目描述: 定义栈的数据结构,请在该类型中实现一个能够得到栈最小元素的min函数. 解题方法 需要用一个保存最小数值的辅助栈. # -*- coding:utf-8 -…

Description 求第k个没有完全平方因子的数,k<=1e9. Solution 这其实就是要求第k个µ[i](莫比乌斯函数)不为0的数. 然而k太大数组开不下来是吧,于是这么处理. 二分答案x,问题转化为求[1,x]间有多少个没有完全平方因子的数. 容斥,加上全部,减去一个质数的平方的倍数个数,加上两个质数乘积的平方的倍数个数... 然后发现,每个数的系数就是µ 这也说明了莫比乌斯的原理就是容斥,µ函数就是容斥系数 具体来说,对于每一个i<=sqrt(x),对于ans的贡献就是µ[i]…

题目链接 总感觉博客园的\(Markdown\)很..\(gouzhi\),可以看这的. 题意即求第\(k\)个无平方因子数. 无平方因子数(Square-Free Number),即分解之后所有质因数的次数都为1的数 可以想到莫比乌斯函数,假设\(n\)是答案,那么有\[k=n-\sum_{i=1}^n(1-|\mu(i)|)\] (从这里能看出\(x\)的上界,后面的\(\sum\)肯定是\(<\frac{n}{2}\)的,所以\(n\leq 2*k\)) 二分一个\(n\),求\([1,n…

题面 传送门 思路 新姿势get 莫比乌斯容斥 $\sum_{i=1}{n}\mu(i)f(i)$ 这个东西可以把所有没有平方质因子的东西表示出来,还能容斥掉重复的项 证明是根据莫比乌斯函数的定义,显然 于是本题里面,我们二分答案$K$,那么闭区间$[1,K]$中的没有平方质因子的数的个数就是$\sum_{i=1}^{\sqrt{K}}\mu(i)\frac{K}{i^2}$ 然后线性筛一波,单次询问复杂度$O(log_2maxn\sqrt{K})$,$maxn$是二分上界 Code: #inc…

二分答案,然后用莫比乌斯函数作为容斥系数,计算当前枚举的mid内有几个满足要求的数 #include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; const int N=50005; int t,k,mb[N],q[N],tot; bool v[N]; int read() { int r=0; char p=getchar(); while(p>'9'||p<'0'…

这道题是受到大犇MagHSK的启发我才得以想出来的,蒟蒻觉得自己的代码跟MagHSK大犇的代码完全比不上,所以这里蒟蒻就套用了MagHSK大犇的代码(大家可以关注下我的博客,友情链接就是大犇MagHSK的博客,大神是山东省队队员,他的博客中的题的质量都比我高几个档次): 这是大神MagHSK的解释:因为10^9顶多开5~6次方就成了1了(当然这里的等于是向下取整的)因此对于修改操作,如果某一段不是1或不是0,就暴力修改,如果是1/0就不管他.修改完之后update一下就好了. 题目上说我们给出的…

Time Limit: 10000MS   Memory Limit: 131072KB   64bit IO Format: %lld & %llu Description 小 X 自幼就很喜欢数.但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数.他觉得这些数看起来很令人难受.由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数.然而这丝毫不影响他对其他数的热爱. 这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物.当然他不能送一个小X讨厌的数.他列出了所有小X不讨厌的数,然后选取了第 K个数送给了小X.小X很开心…