一般的分治FFT是指: https://www.luogu.org/problemnew/show/P4721 考虑后面的f和前面的f有关系,但是贡献可以分着计算,逐一累计上去. 考虑cdq分治.算出前面的[1,mid]的f之后,可以直接一次NTT,把后面[mid+1,r]的f的一部分算出来,累加上去. 对于后面的部分,发现都是一个前缀没有计算上.继续分治下去即可. 画个图就是这样. 细节注意: 1.边界, 2.0~n-1 3.四倍N的数组 4.注意之后每次都是NTT一个前缀. #include…

目录 「学习笔记」FFT 快速傅里叶变换 啥是 FFT 呀?它可以干什么? 必备芝士 点值表示 复数 傅立叶正变换 傅里叶逆变换 FFT 的代码实现 还会有的 NTT 和三模数 NTT... 「学习笔记」FFT 快速傅里叶变换 几个星期之后,继 扩展欧拉定理 之后, \(lj\) 大佬又给我们来了一发数论... 虽然听得心态爆炸, 但是还好的是没有 \(ymx\) 大佬的飞机开得好... 至少我还没有坐飞机... 啥是 FFT 呀?它可以干什么? 首先,你需要知道 矩阵乘法 的相关知识. 通过…

目录 「学习笔记」FFT 之优化--NTT 前言 引入 快速数论变换--NTT 一些引申问题及解决方法 三模数 NTT 拆系数 FFT (MTT) 「学习笔记」FFT 之优化--NTT 前言 \(NTT\) 在某种意义上说,应该属于 \(FFT\) 的一种优化. --因而必备知识肯定要有 \(FFT\) 啦... 如果不知道 \(FFT\) 的大佬可以走这里 引入 在 \(FFT\) 中,为了能计算单位原根 \(\omega\) ,我们使用了 \(\text{C++}\) 的 math 库中的…

什么是FFT FFT是用来快速计算两个多项式相乘的一种算法. 如果我们暴力计算两个多项式相乘,复杂度必然是\(O(n^2)\)的,而FFT可以将复杂度降至\(O(nlogn)\) 如何FFT 要学习FFT,我们得先了解它的思想. 首先,我们得先了解如何表示一个多项式.显然,我们最传统的方法表示多项式就是表示它的系数就好.但是,如果我们用系数来计算两个多项式相乘,复杂度无论如何都是\(O(n^2)\)的.因此,我们引入点值表示法. 补充资料:什么是点值表示 设A(x)是一个n−1次多项式,那么把n…

前言 快速傅里叶变换(\(\text{Fast Fourier Transform,FFT}\) )是一种能在\(O(n \log n)\)的时间内完成多项式乘法的算法,在\(OI\)中的应用很多,是多项式相关内容的基础.下面从头开始介绍\(\text{FFT}\). 前置技能:弧度制.三角函数.平面向量. 多项式 形如\(f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\)的式子称为\(x\)的\(n\)次多项式.其中\(a_0,a_1,...,a_n\)称为多项式的系数. 系数…

1.内容 由于noble_太懒 不想写了 非常好的博客: https://www.cnblogs.com/rvalue/p/7351400.html http://www.cnblogs.com/candy99/p/6641972.html http://www.gatevin.moe/acm/fft%E7%AE%97%E6%B3%95%E5%AD%A6%E4%B9%A0%E7%AC%94%E8%AE%B0/ http://hzwer.com/6896.html 黄学长模板 https://oi…

再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其三)(循环卷积的Bluestein算法+分治FFT+FFT的优化+任意模数NTT) 目录 再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其三)(循环卷积的Bluestein算法+分治FFT+FFT的优化+任意模数NTT) 写在前面 一些约定 循环卷积 DFT卷积的本质 Bluestein's Algorithm 例题 分治FFT 例题 FFT的弱常数优化 复杂算式中减少FFT次数 例题 利用循环卷积 小范围暴力 例题 快速幂乘法次数的优化 FFT的强常数优化 DF…

先给一道luogu板子题:P4721 [模板]分治 FFT 今天模拟有道题的部分分做法是分治fft,于是就学了一下.感觉不是很难,国赛上如果推出式子的话应该能写出来. 分治fft用来解决这么一个式子\[f(i) = \sum _ {j = 1} ^ {i} f(j) * g(i - j)\] 如果暴力fft的话,复杂度\(O(n ^ 2logn)\)还没有暴力优秀. 我们可以用cdq分治的思想,对于区间\([L, R]\),假设\([L, mid]\)已经求出,现在要算\([mid + 1, R…

用途 在\(O(n\log^2 n)\)的时间内做诸如 \[ f_n=\sum_{i=0}^{n-1} f_ig_{n-i} \] 或是 \[ f_n=\sum_{i=0}^{n-1} f_if_{n-i} \] 或是 \[ f_{k,n}=\sum_s\sum_t \sum_i f_{s,i}f_{t,n-i} \] 等"我 卷 我 自 己"的式子. (如果你觉得这东西多项式求逆也可以做,那么请你认真看一下第三个式子) 思想 式子一 用CDQ分治的思想:先递归做出左边,考虑左边对右边…

一.多项式求逆 给定一个多项式 \(F(x)\),请求出一个多项式 \(G(x)\), 满足 \(F(x) * G(x) \equiv 1 ( \mathrm{mod\:} x^n )\).系数对 \(998244353\)取模. 考虑递归求解,当\(F\)的最高次为\(0\)时,\(G_0=F_0^{-1}\) 假设我们知道了\(F(x)\)在模\(x^{\left \lceil \frac{n}{2}\right \rceil}\)意义下的逆元\(G'\) 那么\(F∗G′≡1(\mathr…