[P5162] WD与积木

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洛谷 P5162 WD与积木解题报告

P5162 WD与积木题目背景 WD整日沉浸在积木中,无法自拔-- 题目描述 WD想买$n$块积木,商场中每块积木的高度都是$1$,俯视图为正方形(边长不一定相同).由于一些特殊原因,商家会给每个积木随机一个大小并标号,发给WD. 接下来WD会把相同大小的积木放在一层,并把所有层从大到小堆起来.WD希望知道所有不同的堆法中层数的期望.两种堆法不同当且仅当某个积木在两种堆法中处于不同的层中,由于WD只关心积木的相对大小,因此所有堆法等概率出现,而不是随机的大小等概率(可以看样例理解).输…

每种堆法(理解成名次序列,举例3,3,8,2和7,7,100,2都对应2,2,1,3这个名次序列)等概率出现:题目中"两种堆法不同当且仅当某个积木在两种堆法中处于不同的层中"可见这是个组合问题,于是设一个名次的生成函数F(x)=sum i=1->inf 1*x^i/(i!) .因为F(x)的常数项为0,有F^inf(x)=0. 名次序列的方案数的生成函数:A(x) = sum i=0->inf F^i(x) = 1/(1-F(x)) 名次序列的各种方案的名次个数之和的生成函…

洛谷P5162 WD与积木 [DP，NTT]

传送门思路真是非常套路的一道题-- 考虑$DP$:设$f_n$为$n$个积木能搭出的方案数,$g_n$为所有方案的高度之和. 容易得到转移方程: \[ \begin{align*} &f_n=[n=0]+\sum_{i=1}^n {n \choose i} f_{n-i}\\ &g_n=\sum_{i=1}^n {n \choose i} (f_{n-i}+g_{n-i}) \end{align*} \] 发现$f_n$似乎更容易搞出来,我们先搞$f_n$. 由…

洛谷 P5162 WD与积木【多项式求逆】

设f[i]为i个积木能堆出来的种类,g[i]为i个积木能堆出来的种类和 \[ f[n]=\sum_{i=1}^{n}C_{n}^{i}g[n-i] \] \[ g[n]=\sum_{i=1}^{n}C_{n}^{i}f[n-i]+g[n] \] 理解就是选出包含最后一个的块,然后剩下的按照之前的拼化简,设s为$ \frac{1}{n!} $,G为$ \frac{g[n]}{n!} $,F为$ \frac{fn]}{n!} $,把组合数拆开,变成卷积形式,然后化简就变成 \[ F=\…

P5162 WD与积木（多项式求逆+生成函数）

传送门题解比赛的时候光顾着算某一个$n$的答案是多少忘了考虑不同的$n$之间的联系了--而且我也很想知道为什么推着推着会变成一个二项式反演-- 设$f_n$为$n$块积木时的总的层数,$g_n$为$n$块积木时总的方案数,则有\[g_n=\sum_{i=1}^n\binom{n}{i}g_{n-i}\] \[f_n=g_n+\sum_{i=1}^n\binom{n}{i}f_{n-i}\] $g$的话就是枚举第一层有哪几个,$f$的话也是枚举第一层有几个,前面…

Luogu5162 WD与积木（生成函数+多项式求逆）

显然的做法是求出斯特林数,但没有什么优化空间. 考虑一种暴力dp,即设f[i]为i块积木的所有方案层数之和,g[i]为i块积木的方案数.转移时枚举第一层是哪些积木,于是有f[i]=g[i]+ΣC(i,j)·f[i-j],g[i]=ΣC(i,j)·g[i-j] (j=1~i). 考虑优化 .我们发现这个转移非常像卷积.写成卷积形式,有f[i]=g[i]+Σi!·Σf[i-j]/j!/(i-j)!,g[i]=i!·Σg[i-j]/j!/(i-j)!.直接分治NTT即可. 诶是不是强行多了个log?考…

[Luogu5162]WD与积木(多项式求逆)

不要以为用上Stirling数就一定离正解更近,FFT都是从DP式本身出发的. 设f[i]为i个积木的所有方案的层数总和,g[i]为i个积木的方案数,则答案为$\frac{f[i]}{g[i]}$ 转移枚举第一层是哪些积木:$$f_n=g_n+\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}f_{n-i},f_0=0$$$$g_n=\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}g_{n-i},g_0=1$$ 转化成卷积形式:$$\frac{f_n}{n!}=\frac{g_n}{n!}…

[luogu5162]WD与积木

设$g_{n}$表示$n$个积木放的方案数,枚举最后一层所放的积木,则有$g_{n}=\sum_{i=1}^{n}c(n,i)g_{n-i}$(因为积木有编号的所以要选出$i$个) 将组合数展开并化简,得到$\frac{g_{n}}{n!}=\sum_{i=1}^{n}\frac{g_{n-i}}{i!(n-i)!}$,明显是一个分治fft的形式,转换为多项式求逆: 令$g_{n}$的指数生成函数为$G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{g_{i}}{i!}x^{i}$,再…

【LUOGU???】WD与积木 NTT

题目大意把 $n$ 个有标号物品分到一些有标号的箱子中且不允许为空,问期望箱子的数量. 多组询问. $n\leq 100000$ 题解记 $f_i$ 为 $i$ 个有标号物品分到一些有标号的箱子中且不允许为空的箱子的数量之和. 记 $g_i$ 为 $i$ 个有标号物品分到一些有标号的箱子中且不允许为空的方案数. 答案为 $\frac{f_n}{g_n}$. 转移就是枚举最后一个箱子放了多少物品: \[ \begin{align} g_i&=\sum_{j=1}^i…

【LGP5162】WD与积木

题目场面过度玄学,容易引起不适我们发现我们要求的这个期望由分母和分子两部分构成易发现 \[Ans=\frac{\sum_{i=1}^nS_2(n,i)\times i\times i!}{\sum_{i=1}^nS_2(n,i)\times i!}\] 结合$NTT$求斯特林数卷积我们就能过掉$subtask2$ 考虑正解,我们显然不能再用斯特林数搞了于是考虑一下$dp$ 设$f_n$表示分母,即$f_n=\sum_{i=1}^nS_2(n,i)\times i!$…

luoguP5162 WD与积木

我怎么这么zz啊.... 法一: 枚举最后一层的方案:没了... 法二: 生成函数:没了. k*F^k(x),就是错位相减. 法三: 我的辣鸡做法:生成函数求方案数,用的等比数列求和....多项式快速幂,,O(nlog^2n) 求贡献和,构造G,然后求导,,,, O(nlog^2n) 慢的一批.... ; int jie[N],inv[N]; int n; Poly F,G; Poly ksm(Poly f,int n,int y){ Poly ret;ret.resize();ret[]=;…

FFT/NTT复习笔记&多项式&生成函数学习笔记Ⅱ

因为垃圾电脑太卡了就重开了一个... 前传:多项式Ⅰ u1s1 我预感还会有Ⅲ 多项式基础操作: 例题: 26. CF438E The Child and Binary Tree 感觉这题作为第一题还蛮合适的( 首先我们设 $f_i$ 为权值之和为 $i$ 的符合要求的二叉树的个数. 显然可以枚举根节点的权值.左子树的权值之和进行转移. 也就是 $f_i=\sum\limits_{x\in S}\sum\limits_{y=0}^{i-S}f_yf_{i-x-y}$ 如果我们记 \(…

codevs 3288 积木大赛

题目描述 Description 春春幼儿园举办了一年一度的"积木大赛".今年比赛的内容是搭建一座宽度为 n 的大厦,大厦可以看成由 n 块宽度为1的积木组成,第i块积木的最终高度需要是hi.在搭建开始之前,没有任何积木(可以看成 n 块高度为 0 的积木).接下来每次操作,小朋友们可以选择一段连续区间[L,R],然后将第 L 块到第 R 块之间(含第 L 块和第 R 块)所有积木的高度分别增加1.小 M 是个聪明的小朋友,她很快想出了建造大厦的最佳策略,使得建造所需的操作次数最少.但…

洛谷P2409 Y的积木

P2409 Y的积木 77通过 491提交题目提供者zhouyonglong 标签云端评测难度普及+/提高提交讨论题解最新讨论这组数据几乎可以卡掉所有程- 第一个题解有点问题求教大神 90分代码就是算的分组背包时间不够,- 求解为何编译超时? 有BUG 题目背景 Y是个大建筑师,他总能用最简单的积木拼出最有创意的造型. 题目描述 Y手上有n盒积木,每个积木有个重量.现在他想从每盒积木中拿一块积木,放在一起,这一堆积木的重量为每块积木的重量和.现在他想知道重量和最小的k种取法…