题目链接 \(Description\) 给定\(n\),表示有一张\(n\)个点的无向图,两个点\(x,y\)之间有权值为\(1\)的边当且仅当\(\gcd(x,y)\neq1\).求\(1\sim n\)任意两点之间的最短路长度的和是多少.两个点不连通最短路长度为\(0\). \(n\leq10^7\). \(Solution\) 具体看这里吧,前面也挺重要的但我不抄了就简单记一下了(好像反而写的很详细了). 先分类讨论一下,然后记\(mn_x\)为\(x\)的最小质因子,主要的问题在于求:…

失踪OJ回归. 毕竟这样的数论没做过几道,碰上一些具体的应用还是无所适从啊.小C还是借助这题大致摸索一下莫比乌斯函数吧. Description 有n个点,标号为1~n,为这n个点建一张无向图.两个点x,y之间有连边当且仅当x,y不互质,求两两点对之间的最短路d(x,y)(1<=x<y<=n)之和.(如果两个点不连通,令它们之间的最短路为0) Input 只有一行,一个正整数n. Output 输出两两点对之间的最短路之和. Sample Input 10 Sample Output 4…

题面传送门 对于这类不好直接维护的数据结构,第一眼应该想到-- 根号分治! 我们考虑记[大集合]为大小 \(\geq\sqrt{n}\) 的集合,[小集合]为大小 \(<\sqrt{n}\) 的集合. 显然,查询/修改小集合的时候,直接暴力跑一遍不会出问题,时间复杂度 \(\mathcal O(n\sqrt{n})\). 关键在于怎样处理[大集合]: 修改大集合的时候,暴力一个一个元素修改显然不行,于是考虑整体打一个 \(+v\) 的标记 \(tag_x\) 查询大集合的时候我们也不能遍历一遍集…

题目链接  Round  #440  Div 1  Problem D 题意   把每个数看成一个点,如果$gcd(x, y) \neq 1$,则在$x$和$y$之间连一条长度为$1$的无向边.    设$d(u, v)$为$u$到$v$之间的最短路,如果$u$和v不连通那么$d(u, v) = 0$    现在给定$n$,求所有的满足$1 <= u < v <= n$的$d(u, v)$之和. 首先把$1$和大于$\frac{n}{2}$的质数去掉,这些数和任何数之间的最短距离为$0$…

传送门 首先有\(\varphi(ij) = \frac{\varphi(i) \varphi(j) \gcd(i,j)}{\varphi(\gcd(i,j))}\),把欧拉函数的定义式代入即可证明 然后就可以开始推式子(默认\(n \leq m\)): \(\begin{align*} \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^m \varphi(ij) &= \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^m \frac{\var…

Codeforces 题目传送门 & 洛谷题目传送门 1A,就 nm 爽( 首先此题一个很棘手的地方在于贡献的计算式中涉及 \(\varphi(a_ia_j)\),而这东西与 \(i,j\) 都有关,无法拆开来计算,因此无法独立考虑 \(i,j\) 的贡献.因此我们要想方设法把这里面的 \(a_ia_j\) 拆开来,我们考虑探究 \(\varphi(a_ia_j)\) 与 \(\varphi(a_i),\varphi(a_j)\) 有什么关系,很容易发现一个性质,那就是 \(\varphi(a_…

题目链接: http://codeforces.com/contest/1139/problem/D 题意: 在$1$到$m$中选择一个数,加入到一个初始为空的序列中,当序列的$gcd$和为$1$时,停止加入,求序列的期望长度 数据范围: $1 \leq m \leq 10^{9}$ 分析: 定义$f[x$]为$gcd$等于$x$时把序列$gcd和$改变成1的期望长度,定义$G(x,y)$为$i$在1到$n$范围,满足$gcd(x,i)=y$,$i$的数量,得到以下公式: $$f[i]=1+\f…

洛谷 Codeforces 根号分治真是妙啊. 思路 考虑对于单独的一个\(k\)如何计算答案. 与"赛道修建"非常相似,但那题要求边,这题要求点,所以更加简单. 在每一个点贪心地把子树升上来的两条最长的链拼在一起,能组就组,否则把最长链往上送,复杂度\(O(n)\). 那么多个\(k\)怎么办呢? 分析一波,\(k<\sqrt{n}\)时可以暴力计算,而\(k>\sqrt{n}\)时\(ans_k\leq \lfloor \frac{n}{k}\rfloor\),只有\(…

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/UOJ33.html 题解 首先我们把问题转化成处理一个数组 ans ,其中 ans[i] 表示 d(u,a) 和 d(v,a) 同时为 i 的倍数的 (u,v) 个数.(最后求答案的时候只要莫比乌斯反演回来就好了.) 注意一下我的代码中对于 (u,v) 有祖先关系的是分开考虑的. 先点分治. 对于一个点分中心 x ,我们把答案分两部分考虑. 1. 在子树 x 中满足 LCA(u,v) = x 的 (u,v)…

Coprime Arrays CodeForces - 915G Let's call an array a of size n coprime iff gcd(a1, a2, ..., *a**n) = 1, where gcd* is the greatest common divisor of the arguments. You are given two numbers n and k. For each i (1 ≤ i ≤ k) you have to determine the…

Description 给定一颗 \(n\) 个顶点的树,顶点 \(i\) 的权值为 \(a_i\).求: \[\frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\varphi(a_i\times a_j)\times\text{dist}(i, j) \] 其中 \(a\) 为一个 \(1\sim n\) 的排列. Hint \(1\le n\le 2\times 10^5\) Solution 据说是套路题 然而我不会这个套路于是我觉得是神题 开一个 blog…

Description 你需要维护 \(n\) 个可重集,并执行 \(m\) 次操作: 1 x v:\(X\leftarrow \{v\}\): 2 x y z:\(X\leftarrow Y \cup Z\): 3 x y z:\(X \leftarrow \{\gcd(a, b)\ |\ a\in Y, b\in Z\}\): 4 x v:询问 \(v\) 在 \(X\) 中出现次数 \(\bmod 2\) 的结果. Hint \(1\le n\le 10^5, 1\le m\le 10^6…

题目链接 啊啊啊我在干什么啊.怎么这么颓一道题做这么久.. 又记错莫比乌斯反演式子了(╯‵□′)╯︵┻━┻ \(Description\) 给定\(n\).有一个初始为空的集合\(S\).令\(g\)表示S中所有数的\(\gcd\).每次随机选择一个\([1,n]\)中的数加到集合\(S\)中去,直到\(g=1\).求集合\(S\)的期望大小.(原题目描述为数列长度,\(n\)是指\(m\),我自己都看混了=-=) \(n\leq10^5\). \(Solution\) 首先不要想\(f[i][…

[题目]G. Coprime Arrays [题意]当含n个数字的数组的总gcd=1时认为这个数组互质.给定n和k,求所有sum(i),i=1~k,其中sum(i)为n个数字的数组,每个数字均<=i,总gcd=1的方案数.n<=2*10^6.答案将所有sum(i)处理成一个数字后输出. [算法]数论(莫比乌斯反演) [题解]假设当前求sum(k),令f(i)表示gcd=i的数组方案数,F(i)表示i|gcd的数组的方案数. 因为F(x)=Σx|df(d),由莫比乌斯反演定理,f(x)=Σx|d…

/*CodeForces839D[莫比乌斯反演]*/ #include <bits/stdc++.h> typedef long long LL; const LL MOD = 1000000007LL; using namespace std; , mina = 0x3f3f3f3f; LL m[], F[], f[]; ], a[]; ], vis[], mu[]; void mo_init(int N) { memset(vis, , sizeof(vis)); mu[] = ; ; ;…

蒟蒻数学渣呀,根本不会做. 解法是参考 https://blog.csdn.net/xs18952904/article/details/88785210 这位大佬的. 状态的设计和转移如上面博客一样:dp[i]代表当前序列的gcd为i的期望长度. 那么可以写出状态转移方程:dp[i]=(1+(x/m)∑(j|i,j≠i)dp[j]) / (1-(m/i)/m) (写得有点乱,其实和上面大佬的一样的) 这里要说一下的是 x=∑(t=1,t<=m) [ gcd(t,i)==j ]  就是怎么求1<…

在你以为理解mobus的时候,苦苦想通过化简公式来降低复杂度时,这题又打了我一巴掌. 看来我并没有理解到acmicpc比赛的宗旨啊. 这么多次查询可以考虑离线操作,使用树状数组单点更新. /************************************************************** Problem: 3529 User: chenhuan001 Language: C++ Result: Accepted Time:5264 ms Memory:8412 kb *…

莫比乌斯反演 ​ 对于两个定义域为非负整数的函数\(F(n)\)和\(f(n)\) ​ 若满足:\(F(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)\),则反演得到\(f(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)F(\frac n d)\): \[ \sum_{d\mid n}\mu(d)F(\frac n d)= \sum_{d\mid n}\mu(d)\sum_{d'\mid (n/d)}f(d')= \sum_{d'\mid n}f(d')\sum_{d|(n/d')}\m…

[复习]莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛 莫比乌斯反演 做题的时候的常用形式: \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{n|d}f(d)\\f(n)&=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})g(d)\end{aligned}\] 实际上还有 \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{d|n}f(d)\\f(n)&=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})g(d)\end{aligned}\] 证明可以看看这里,…

[CF809E]Surprise me!(动态规划,虚树,莫比乌斯反演) 题面 洛谷 CodeForces 翻译: 给定一棵\(n\)个节点的树,每个点有一个权值\(a[i]\),保证\(a[i]\)是一个\(1..n\)的排列. 求\[\frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\varphi(a_i*a_j)·dist(i,j)\] 其中,\(\varphi(x)\)是欧拉函数,\(dist(i,j)\)表示\(i,j\)两个节点在树上的距离. 题解 神题…

名字虽然很长.但是其实很简单,对于这一类问题基本上就是看你能不能把统计的公式搞出来(这时候需要一个会推公式的队友) 来源于某次cf的一道题,盼望上紫的我让潘学姐帮我代打一道题,她看了看跟我说了题解,用反演写的,然后……还是错了23333.赛后题解给出的是用容斥原理解决问题,但是我并看不懂学姐的公式,也还不懂莫比乌斯反演的第二种形式.直到最近刚看,才恍然大悟. 这类问题的特点是,给一个集合,问所有子集的w(gcd(某个子集))的和问题(w表示某个函数,一般是跟子集长度有关). 可以做出两个函数.…

易得 $\sum\limits_{g=1}^{n} g \sum\limits_{k=1}^{n} \mu(k) \lfloor\frac{n}{gk}\rfloor \lfloor\frac{n}{gk}\rfloor $ 记 \(T=gk\) 枚举 \(T\) ,注意这里既然满足 \(T=gk\) 要保证两个乘起来确实是 \(T\) ,选择把 \(k\) 换成 $\frac{T}{g} $ . $\sum\limits_{T=1}^{n} \lfloor\frac{n}{T}\rfloor…

题目:给定n个数字a1...an.有m个询问,格式为L R X Y,意为求aL到aR之间与x的最大公因数为y的个数. 数据组数T<=20 1<=n,m<=1e5 1<=ai<=1e5 1<=L,R<=n;1<=X,Y<=1e5 分析:   考虑预处理出1~1e5所有数字的因子 然后就可以知道每个因子在1~n这n个位置的分布情况 对于一个询问(l,r,x,y) 就相当于求[l,r]之间公因数为y,[l,r]之间公因数为2y,[l,r]之间公因数为3y………

OK!开始更新莫比乌斯反演 先看了一下数据范围,嗯,根据\(jiry\)老师的真言,我们一定是可以筛一遍然后用根号或者是\(log\)的算法. 题目思路挺简单,就是把原始的式子化成: \(\sum_{k = 1}^{min(a,b)}(a/k)(b/k) \sum_{d | k} f(d) * \mu (k / d)\) 由于莫反的函数是建立在积性上的,但是后面那个显然不是积性. 我们考虑把后面的式子代换一下:\(g(n) = \sum_{d|n}f(n/d) * \mu(d)\) 考虑\(\m…

LINK:加权约数和 我曾经一度认为莫比乌斯反演都是板子题. 做过这道题我认输了 不是什么东西都是板子. 一个trick 设\(s(x)\)为x的约数和函数. 有 \(s(i\cdot j)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[(x,y)==1]x\cdot \frac{j}{y}\) 证明的话可以自己意会 赶时间. 然后 这道题唯一特别的是转换完后 直接莽推根号做法是行不通的 同时也过不去. 不如先考虑求 \(f_i=\sum_{j=1}^i s(i\cdot j)\) 然后带入上面的那…

学了莫比乌斯反演之后对初阶问题没有任何问题了,除法分块也码到飞起,但是稍微变形我就跪了.用瞪眼观察法观察别人题解观察到主要内容除了柿子变形之外,主要就是对于miu函数的操作求前缀和.进而了解miu函数,miu函数是在这个数是否有平方因子的个数,每次推的套路是先用欧拉筛筛出来所有需要的函数,然后用每次需要用到的函数进行累计迭代加到前缀和,二次过筛,然后堆起来前缀和,用除法分块就行了,这个方法屡试不爽. 两道题,一道是洛谷P2257 YY的GCD 这道题求的是1-n和1-m区间内gcd为质数的个数,…

不学莫反,不学狄卷,就不能叫学过数论 事实上大概也不是没学过吧,其实上赛季头一个月我就在学这东西,然鹅当时感觉没学透,连杜教筛复杂度都不会证明,所以现在只好重新来学一遍了(/wq 真·实现了水平的负增长((( 1. \(\mu\) 与 \(\varphi\) 真就从头开始呗 对于整数 \(n=p_1^{\alpha_1}\times p_2^{\alpha_2}\times\cdots\times p_k^{\alpha_k}\),定义莫比乌斯函数 \(\mu(n)\) 为: \[\mu(n)=…

题意:求(1,b)区间和(1,d)区间里面gcd(x, y) = k的数的对数(1<=x<=b , 1<= y <= d). 知识点: 莫比乌斯反演/*12*/ 线性筛求莫比乌斯反演函数: void Init() { memset(vis,0,sizeof(vis)); mu[1] = 1; cnt = 0; for(int i=2; i<N; i++) { if(!vis[i]) { prime[cnt++] = i; mu[i] = -1; } for(int j=0;…

2154: Crash的数字表格 Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 259 MBSubmit: 2924  Solved: 1091[Submit][Status][Discuss] Description 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24.回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究…

2301: [HAOI2011]Problem b Time Limit: 50 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 4032  Solved: 1817[Submit][Status][Discuss] Description 对于给出的n个询问,每次求有多少个数对(x,y),满足a≤x≤b,c≤y≤d,且gcd(x,y) = k,gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数. Input 第一行一个整数n,接下来n行每行五个整数,分别表示a.b.c.d.k Outp…