BZOJ4591 并不会写的组合数学. 我们设$f(n, k) = \sum_{i= 0}^{k}\binom{n}{i}$,那么每一个询问要求的就是$f(n, k)$. 发现$f(i, j)$其实可以递推: $f(i, 0) = 1$ $f(i, j) = f(i, j - 1) + \binom{i}{j}$ 看上去没什么用处,但是我们还有$Lucas$定理. $f(n, k) = \sum_{i = 0}^{k}\binom{n}{i} \ (Mod\ P) \ =\sum_{i = 0}…

Lucas定理 先上结论: 当p为素数: \(\binom{ N }{M} \equiv \binom{ N/p }{M/p}*\binom{ N mod p }{M mod p} (mod p)\) 证明:令 \(s=\lfloor \frac{n}{p} \rfloor\),\(q=n\bmod p\),\(t=\lfloor \frac{m}{p} \rfloor\),\(r=m \bmod p\). 需证明 \(\binom{sp+q}{tp+r}\equiv \binom{s}{t}\…

4591: [Shoi2015]超能粒子炮·改 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 178  Solved: 70[Submit][Status][Discuss] Description 曾经发明了脑洞治疗仪&超能粒子炮的发明家SHTSC又公开了他的新发明:超能粒子炮·改--一种可以发射威力更加 强大的粒子流的神秘装置.超能粒子炮·改相比超能粒子炮,在威力上有了本质的提升.它有三个参数n,k.它会 向编号为0到k的位置发射威力为C(n…

4591: [Shoi2015]超能粒子炮·改 题意:多组询问,求 \[ S(n, k) = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} \mod 2333,\ k \le n \le 10^{18} \] lucas定理,展开一层然后整除分块一下,不完整的块单独拿出来,就是 \[ S(n,k) = S(\frac{n}{p}, \frac{k}{p}-1)S(n \bmod p, p-1) + \binom{\frac{n}{p}}{ \frac{k}{p}} S(n \bmod p,…

[BZOJ4591][SHOI2015]超能粒子炮·改 (卢卡斯定理) 题面 BZOJ 洛谷 题解 感天动地!终于不是拓展卢卡斯了!我看到了一个模数,它是质数!!! 看着这个东西就感觉可以递归处理. 令\(f(n,k)\)表示答案. \[\begin{aligned} f(n,k)&=\sum_{i=0}^k {n\choose i}\\ &=\sum_{i=0}^k {n/p\choose i/p}*{n\%p\choose i\%p}\\ &=\sum_{x=0}^{p-1}{…

P4345 [SHOI2015]超能粒子炮·改 题意 求\(\sum_{i=0}^k\binom{n}{i}\),\(T\)组数据 范围 \(T\le 10^5,n,j\le 10^{18}\) 设\(f(n,k)=\sum_{i=0}^k\binom{n}{i}\) \[ \begin{aligned} &f(n,k)\\ =&\sum_{i=0}^k\binom{n/p}{i/p}\binom{n\%p}{i\%p}\\ =&\sum_{j=0}^{k/p-1}\binom{n…

P4345 [SHOI2015]超能粒子炮·改 题意:求$\sum_{i=1}^{k}C(n,i)\%(P=2333)$ 肯定要先拆开,不然怎么做呢(大雾) 把$C(n,i)$用$lucas$分解一下 于是原式$=\sum_{i=1}^{k}C(n/P,k/P)*C(n\%P,k\%P)\%P$ 发现介个$k/P$是可以用整除分块搞的 于是拆开各个分块 $=C(n/P,0)*\sum_{i=0}^{P-1}C(n\%P,i)$ $+C(n/P,1)*\sum_{i=0}^{P-1}C(n\%P,…

BZOJ_4591_[Shoi2015]超能粒子炮·改_Lucas定理 Description 曾经发明了脑洞治疗仪&超能粒子炮的发明家SHTSC又公开了他的新发明:超能粒子炮·改--一种可以发射威力更加 强大的粒子流的神秘装置.超能粒子炮·改相比超能粒子炮,在威力上有了本质的提升.它有三个参数n,k.它会 向编号为0到k的位置发射威力为C(n,k) mod 2333的粒子流.现在SHTSC给出了他的超能粒子炮·改的参数,让你求 其发射的粒子流的威力之和模2333. Input 第一行一个整数t…

题目描述 曾经发明了脑洞治疗仪&超能粒子炮的发明家SHTSC又公开了他的新发明:超能粒子炮·改--一种可以发射威力更加强大的粒子流的神秘装置.超能粒子炮·改相比超能粒子炮,在威力上有了本质的提升.它有三个参数n,k.它会向编号为0到k的位置发射威力为C(n,k) mod 2333的粒子流.现在SHTSC给出了他的超能粒子炮·改的参数,让你求其发射的粒子流的威力之和模2333. 输入 第一行一个整数t.表示数据组数. 之后t行,每行二个整数n,k.含义如题面描述. k<=n<=10^18…

Description 曾经发明了脑洞治疗仪&超能粒子炮的发明家SHTSC又公开了他的新发明:超能粒子炮·改--一种可以发射威力更加 强大的粒子流的神秘装置.超能粒子炮·改相比超能粒子炮,在威力上有了本质的提升.它有三个参数n,k.它会 向编号为0到k的位置发射威力为C(n,k) mod 2333的粒子流.现在SHTSC给出了他的超能粒子炮·改的参数,让你求 其发射的粒子流的威力之和模2333. Input 第一行一个整数t.表示数据组数. 之后t行,每行二个整数n,k.含义如题面描述. k<…