首先,你要知道什么是莫比乌斯函数 然后,你要知道什么是积性函数 最后,你最好知道什么是线性筛 莫比乌斯反演 积性函数 线性筛,见上一篇 知道了,就可以愉快的写mobius函数了 由定义: μ(n)=   1          (n=1) (-1)^k   (n=p1p2...pk)  /*  注意质因子次数为1因为次数大于等于2则含有平方因子  */ 0          (其他) 为什么关系平方因子呢? 因为,由定义: /* 莫比乌斯函数完整定义的通俗表达: 1)莫比乌斯函数μ(n)的定义域是…

欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目 φ(1)=1(定义) 类似与莫比乌斯函数,基于欧拉函数的积性 φ(xy)=φ(x)φ(y) 由唯一分解定理展开显然,得证 精髓在于对于积性的应用: ){phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];break;} phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-); 一个练手题Hdu1286 #include <algorithm> #include <iostream> #include <cstring> #inc…

前言: 很久以前看过了线性筛,没怎么注意原理,但是后来发现线性筛还有很有用的.. 比如上次做的一道题就需要找出每个数的最小质因子,先筛再找就太慢了..一看线性筛发现就可以直接在筛的过程中处理出来了! 今天又学习了屌炸天的jzp线性筛,可以在o(n)的时间内求出欧拉函数, 莫比乌斯函数等积性函数 原理: 首先jzp线性筛并不是一种新的线性筛..其实就是jzp大牛对线性筛的一些开发应用 先回忆一下积性函数的定义 若a,b互质 则f(ab)=f(a)*f(b)的函数f 定义为积性函数,不要求a,b互质…

一通套路之后得到 求出中间那个函数的前缀和的话就可以整除分块了. 暴力求的话复杂度其实很优秀了,大约在n~nlogn之间. 不过可以线性筛做到严格线性.考虑其最小质因子,如果是平方因子那么只有其有贡献,否则由于多了一个质因子,将函数值取反并加上该质因子贡献. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<cstring> #includ…

一通套路后得Σφ(d)μ(D/d)⌊n/D⌋2.显然整除分块,问题在于怎么快速计算φ和μ的狄利克雷卷积.积性函数的卷积还是积性函数,那么线性筛即可.因为μ(pc)=0 (c>=2),所以f(pc)还是比较好算的,讨论一波即可. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<algorith…

题意:求第k个分解质因子后质因子次数均为一的数,即求第k个无平方因子数. 题解: 首先二分答案mid,那么现在就是要求出mid以内的无平方因子数的个数. 其次枚举$\sqrt{mid}$内的所有质数,由容斥原理 $Num=0个质数平方的倍数的数量(1的倍数)-1个质数平方的倍数的数量(9,25...的倍数)$ $+2个质数平方的倍数的数量(36,100...的倍数)...$ 可以发现对于一个数x,x的倍数数量对答案的贡献符号为$\mu(x)$. 例如:9的倍数数量最答案的贡献是$\mu(9)\l…

只会搬运YL巨巨的博客 积性函数 定义 积性函数:对于任意互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数. 完全积性函数:对于任意整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数 性质 两个积性函数的狄利克雷卷积仍为积性函数. 若积性函数满足 \(f(n^p)=f^p(n)\)则它一定是完全积性函数.因为一个数可以唯一分解,则它一定可以表示成质数相乘的形式:因为他时积性函数所以,\(f(\prod_{i=1}^{n}p_i)=\prod _{i=1}^{n}f(p_i)\),…

推导: 设d=gcd(i,j) 利用莫比乌斯函数的性质 令sum(x,y)=(x*(x+1)/2)*(y*(y+1)/2) 令T=d*t 设f(T)= T可以分块.又由于μ是积性函数,积性函数的约束和仍是积性函数,所以f也是积性函数,可以O(n)线性筛求得.总时间复杂度为 具体筛法看代码. 代码: #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; #define mod…

2693: jzptab Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 1194  Solved: 455[Submit][Status][Discuss] Description Input 一个正整数T表示数据组数 接下来T行 每行两个正整数 表示N.M Output T行 每行一个整数 表示第i组数据的结果 Sample Input 1 4 5 Sample Output 122 HINT T <= 10000 N, M<=1000000…

2818: Gcd Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 4436  Solved: 1957[Submit][Status][Discuss] Description 给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对. 1<=N<=10^7 uva上做过gcd(x,y)=1的题 gcd(x,y)=p ---> gcd(x/p,y/p)=1 每个质数做一遍行了 答案是欧拉函数的前缀和*2…

4514: [Sdoi2016]数字配对 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 726  Solved: 309[Submit][Status][Discuss] Description 有 n 种数字,第 i 种数字是 ai.有 bi 个,权值是 ci. 若两个数字 ai.aj 满足,ai 是 aj 的倍数,且 ai/aj 是一个质数, 那么这两个数字可以配对,并获得 ci×cj 的价值. 一个数字只能参与一次配对,可以不参与配对. 在…

P3383 [模板]线性筛素数 256通过 579提交 题目提供者HansBug 标签 难度普及- 提交  讨论  题解 最新讨论 Too many or Too few lines 样例解释有问题 请注意!!!1不是质数,所- 题目描述 如题,给定一个范围N,你需要处理M个某数字是否为质数的询问(每个数字均在范围1-N内) 输入输出格式 输入格式: 第一行包含两个正整数N.M,分别表示查询的范围和查询的个数. 接下来M行每行包含一个不小于1且不大于N的整数,即询问概数是否为质数. 输出格式:…

4407: 于神之怒加强版 Time Limit: 80 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 241  Solved: 119[Submit][Status][Discuss] Description 给下N,M,K.求 Input 输入有多组数据,输入数据的第一行两个正整数T,K,代表有T组数据,K的意义如上所示,下面第二行到第T+1行,每行为两个正整数N,M,其意义如上式所示. Output 如题 Sample Input 1 23 3 Sample Outpu…

2186: [Sdoi2008]沙拉公主的困惑 Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 259 MB Submit: 2417 Solved: 803 [Submit][Status][Discuss] Description 大富翁国因为通货膨胀,以及假钞泛滥,政府决定推出一项新的政策:现有钞票编号范围为1到N的阶乘,但是,政府只发行编号与M!互质的钞票.房地产第一大户沙拉公主决定预测一下大富翁国现在所有真钞票的数量.现在,请你帮助沙拉公主解决这个问题,由于可能张数非…

2186: [Sdoi2008]沙拉公主的困惑 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 259 MBSubmit: 2560  Solved: 857[Submit][Status][Discuss] Description 大富翁国因为通货膨胀,以及假钞泛滥,政府决定推出一项新的政策:现有钞票编号范围为1到N的阶乘,但是,政府只发行编号与M!互质的钞票.房地产第一大户沙拉公主决定预测一下大富翁国现在所有真钞票的数量.现在,请你帮助沙拉公主解决这个问题,由于可能张数非…

P3383 [模板]线性筛素数 题目描述 如题,给定一个范围N,你需要处理M个某数字是否为质数的询问(每个数字均在范围1-N内) 输入输出格式 输入格式: 第一行包含两个正整数N.M,分别表示查询的范围和查询的个数. 接下来M行每行包含一个不小于1且不大于N的整数,即询问概数是否为质数. 输出格式: 输出包含M行,每行为Yes或No,即依次为每一个询问的结果. 输入输出样例 输入样例#1: 100 5 2 3 4 91 97 输出样例#1: Yes Yes No No Yes 说明 时空限制:5…

题目连接:hdu_5750_Dertouzos 题意: 给你一个n,一个d,问你比n小的数中有多少个数的最大的因子为d,比如6有因子1 2 3 最大的为3 题解: 当时比赛做这题的时候没考虑常数的优化,过了初测,然后FST了,卧槽... 这题仔细观察就可以发现我们只需要找一个数s,s*d比n小,且s不大于d的最小的质因数,这样才能使s*d这个数的最大的因子为d.然后我们就用线性筛 先筛出2W的素数,其实应该筛到33333的,不过我测试了数据2W也能过,然后就扫一遍就行了 #include<cst…

/* 题意:(n)表示小于n与n互质的数有多少个,给你两个数a,b让你计算a+(a+1)+(a+2)+......+b; 初步思路:暴力搞一下,打表 #放弃:打了十几分钟没打完 #改进:欧拉函数:具体证明看po主的博客 ^0^ #超时:这里直接用欧拉函数暴力搞还是不可以的,用到线性筛欧拉函数,这里总和爆int,要用long long */ #include<bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; /***********…

题目背景 题目名称是吸引你点进来的 实际上该题还是很水的 题目描述 区间质数个数 输入输出格式 输入格式: 一行两个整数 询问次数n,范围m 接下来n行,每行两个整数 l,r 表示区间 输出格式: 对于每次询问输出个数 t,如l或r∉[1,m]输出 Crossing the line 输入输出样例 输入样例#1: 2 5 1 3 2 6 输出样例#1: 2 Crossing the line 说明 [数据范围和约定] 对于20%的数据 1<=n<=10 1<=m<=10 对于100…

题意:\(f(n)\)为n的质因子分解中的最大幂指数,求\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m f(gcd(i,j))\) 套路推♂倒 \[ \sum_{D=1}^n \sum_{d|D} f(d)\mu(\frac{D}{d}) \frac{n}{D} \frac{m}{D} \] 这次函数是\(g = (f*\mu )\),\(f\)显然不是积性函数,但我们照样可以用线性筛 具体做法我晚上回家再补吧草稿纸忘带了... 补: \(g(p^a)=p-(p-1)\) 因为卷了\(\…

Divisor counting 题目大意:定义f(n)表示整数n的约数个数.给出正整数n,求f(1)+f(2)+...+f(n)的值. 注释:1<=n<=1000,000 想法:我们再次有两种做法:文...武......想讲武的......我们其实这次更博只是为了介绍一种知识点——线性筛法筛积性函数.这里,给出线性筛的万能筛法. 1.初值:显然,初值是必要的. 2.我们类比欧拉筛,用k(n)举例.当n是素数时的情况使我们必须的,这相当于初值一样重要. 3.又因为,我们主要筛积性函数,显然函数…

BZOJ_2440_[中山市选2011]完全平方数_容斥原理 题意: 求第k个不是完全平方数倍数的数 分析: 二分答案,转化成1~x中不是完全平方数倍数的数的个数 答案=所有数-1个质数的平方的倍数+2个质数乘积的平方的倍数 =x-x/2^2-x/3^2+x/4^2-x/5^2+x/6^2 发现容斥的系数就是μ 线性筛即可 代码: #include <stdio.h> #include <string.h> #include <algorithm> #include &…

传送门 好像是我们联考时候的题目? 一个结论:\(\gcd(ij,ik,jk) \times \gcd(i,j,k) = \gcd(i,j) \times \gcd(i,k) \times \gcd(j,k)\),证明:由于\(\gcd\)是积性函数,所以我们分成每个质因子考虑.假设对于质数\(p\),\(i,j,k\)的素数唯一分解中\(p\)的质数为\(a \geq b \geq c\),那么如果只考虑\(p\)这一个质因子,\(\gcd(ij,ik,jk) = p^{b+c} , \gcd…

积性函数 数论函数指的是定义在正整数集上的实或复函数. 积性函数指的是当 \((a,b)=1\) 时, 满足 \(f(a*b)=f(a)*f(b)\) 的数论函数. 完全积性函数指的是在任何情况下, 满足 \(f(a*b)=f(a)*f(b)\) 的数论函数. 常见的积性函数 copy&modified from 积性函数 - 维基百科,自由的百科全书 φ(n) -欧拉函数 μ(n) -莫比乌斯函数,关于非平方数的质因子数目 gcd(n,k) -最大公因子,当k一定 d(n) -n的正因子数目…

题目描述 如题,给定一个范围N,你需要处理M个某数字是否为质数的询问(每个数字均在范围1-N内) 输入格式 第一行包含两个正整数N.M,分别表示查询的范围和查询的个数. 接下来M行每行包含一个不小于1且不大于N的整数,即询问该数是否为质数. 输出格式 输出包含M行,每行为Yes或No,即依次为每一个询问的结果. 当然这是一道很裸的板子题,但是却牵扯到了一个非常有用的东西: 素数筛法 首先,我们知道素数筛法主要就是以下几种 第一:无脑筛 其实就是从2到n遍历一遍,没什么可讲的,顶多把n优化成sqr…

因为数据很大所以要用线性筛.. #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; typedef long long ll; int rd(){ ll x=,fl=;char ch=getchar(); ;ch=getchar();} )+(x<<)+(ch^);ch=getchar();} return x*fl; } ],ex[]; void phi(){ ex[]=ex[]=;cnt=; ;i<…

技巧:就是偶数位的回文数字一定不是质数---------证明:奇数位之和sum1==偶数位之和sum2的数字可以被11整除.(11除外,这是一个坑点) 最高位,最低位必须是 1, 3, 7, 9 暴力枚举:也就是说,直接枚举奇数位(1,3,5,7)就可以了.至于回文嘛,除去最高位和最低位,也最多是枚举3位数字,时间复杂度在10^3.不管怎么说还是暴力的起的. 线性筛:就是用于判断最后枚举的数字是不是质数的,注意,还是要把质数的范围取大一点.根据质数在后面越来越少的概率图,大家,可以随便定个范围.…

传送门 推式子(默认\(N \leq M\)): \(\begin{align*} \sum\limits_{i=1}^N \sum\limits_{j=1}^Mf(gcd(i,j)) & = \sum\limits_{d=1}^N f(d) \sum\limits_{i=1}^\frac{N}{d} \sum\limits_{j=1}^\frac{M}{d} \sum\limits_{p | gcd(i,j)} \mu(p) \\ &= \sum\limits_{d=1}^N f(d)…

我们先来看欧拉筛法 •为什么叫欧拉筛呢?这可能是跟欧拉有关 •但是为什么叫线性筛呢?因为它的复杂度是线性的,也就是O(n),我们直接来看代码   #include<cstdio> #include<iostream> #include<cstdlib> #include<iomanip> #include<cmath> #include<cstring> #include<string> #include<algor…

题目 首先我们先把题目分析一下. emmmm,这应该是一个找规律,应该可以打表,然后我们再分析一下图片,发现如果这个点可以被看到,那它的横坐标和纵坐标应该互质,而互质的条件就是它的横坐标和纵坐标的最大公约数为一,那这题的意思就变成了,在一个n * n的方格内寻找所有点的横坐标和纵坐标互质的点的个数. 但是这样复杂度肯定是过不去的.打表时间花费也是很多的,所以我们需要找到加快速度的方法,就是用欧拉函数来加快速度,所以我们就要实现大的优化,我们先明确欧拉函数是个什么东西. 欧拉函数 \(φ(x)\)…