BSGS 和扩展

BSGS与扩展BSGS

BSGS $BSGS$算法又称大步小步$(Baby-Step-Giant-Step)$算法 $BSGS$算法主要用于解以下同余方程 \[A^x\equiv B(mod\ p)\]其中$(A,P)=1$,即$A$与$P$互质前置知识根据欧拉定理$A^{ \varphi(p)} \equiv1(mod\ p)$,所以$A^x(mod\ p)$的循环节为$\varphi(p)$.也就是说如果上面的方程有解$x$,那么肯定有\(x \in [0,\varphi…

BSGS及扩展BSGS总结（BSGS，map）

蒟蒻哪里有什么总结,只能点击%YL% 还有这位ZigZagK大佬的blog $\mbox{BSGS}$ 模板题:洛谷P3846 [TJOI2007]可爱的质数给定$a,b$和模数$\mbox{YL}$,求$a^x\equiv b(\bmod\mbox{YL})$中$x$的最小非负整数解.保证$\gcd(a,\mbox{YL})=1$. 设$k=\lceil\sqrt{\mbox{YL}}\rceil$,令$x=ky-c$(\(y\in[1,k],c\in[0,k…

BSGS和扩展BSGS

BSGS: 求合法的$x$使得$a ^ x \quad mod \quad p = b$ 先暴力预处理出$a^0,a^1,a^2.....a^{\sqrt{p}}$ 然后把这些都存在map里 : $map[a^x] = x$ 一个合法的x满足$x = k\sqrt{p} + l$使得$a^x = b$,因此可以直接枚举k,于是有: \[a^x = a^{k\sqrt{p}} \cdot a^l = b\] \[a^l = \frac{b}{a^{k\sqrt{p}}} =…

BSGS及其扩展

目录定义原理朴素算法数论分块例题 Luogu2485 [SDOI2011]计算器题解代码扩展例题 Luogu4195 [模板]exBSGS/Spoj3105 Mod 代码之前写了一篇关于BSGS的学习笔记.因为太过老旧,就想修改一些错误,顺便添上扩展BSGS的部分.可惜博客园不能对已发布的随笔修改编辑器,索性重新发出来.旧文已删. 定义 Baby-Step-Giant-Step算法,简称BSGS算法,又称大步小步算法,用于求方程\(a^x\equiv b(\text{mod…

BSGS及扩展BSGS算法及例题

$BSGS(baby-step-giant-step)$算法是用来解高次同余方程的最小非负整数解的算法,即形如这个的方程: $a^x\equiv b(mod\ p)$ 其中$p$为质数(其实只要($(a,p)=1$即可) 首先考虑暴力怎么解:由费马小定理可知$a^{p-1}\equiv 1(mod\ p)$,也就是说如果在$[0,p-1]$内无解的话,方程就是无解的.所以我们从小到大枚举$[0,p-1]$中的每一个数,满足方程就结束.但是这里$p-1$并不一定是最…

Codeforces 1106F Lunar New Year and a Recursive Sequence (数学、线性代数、线性递推、数论、BSGS、扩展欧几里得算法)

哎呀大水题..我写了一个多小时..好没救啊.. 数论板子X合一? 注意: 本文中变量名称区分大小写. 题意: 给一个$n$阶递推序列$f_k=\prod^{n}_{i=1} f_{k-i}b_i\mod P$其中$P=998244353$, 输入$b_1,b_2,...,b_n$以及已知$f_1,f_2,...,f_{n-1}=1$, 再给定一个数$m$和第$m$项的值$f_m$, 求出一个合法的$f_n$值使得按照这个值递推出来的序列满足第$m$项的值为…

BSGS BSGS,全称叫 BabyStepGiantStep,也就是大步小步其实还是比较暴力的它可以$O(\sqrt p)$的复杂度内解出: \[a^x\equiv n\pmod p,\gcd(a,p)=1 \] 中$x$的值如果$\gcd(a,p)\neq 1$就要用到 exBSGS 了我们考虑令$x=im-k,0\le k<m$ 那么原式变为 \[a^{im-k}\equiv n\pmod p \] \[a^{im}\equiv na^k\pmod p \] 那么,…

数论算法剩余系相关学习笔记 (基础回顾,(ex)CRT,(ex)lucas,(ex)BSGS,原根与指标入门,高次剩余,Miller_Rabin+Pollard_Rho)

注:转载本文须标明出处. 原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Number-theory.html 数论算法剩余系相关学习笔记 (基础回顾,(ex)CRT,(ex)lucas,(ex)BSGS,原根与指标入门,高次剩余,Miller_Robin+Pollard_Rho) 本文概要 1. 基础回顾 2. 中国剩余定理 (CRT) 及其扩展 3. 卢卡斯定理 (lucas) 及其扩展 4. 大步小步算法 (BSGS) 及其扩展 5. 原根与指标入…

BSGS算法学习笔记

从这里开始离散对数和BSGS算法扩展BSGS算法离散对数和BSGS算法设$x$是最小的非负整数使得$a^{x}\equiv b\ \ \ \pmod{m}$,则$x$是$b$以$a$为底的离散对数,记为$x = ind_{a}b$. 假如给定$a, b, m$,考虑如何求$x$,或者输出无解,先考虑$(a, m) = 1$的情况. 定理1(欧拉定理) 若$(a, m) = 1$,则$a^{\varphi(m)}\equiv 1 \pmod{m}$. 证明这里就不给出,因为在百度上随便搜一…

Discrete Logging(POJ2417 + BSGS)

题目链接:http://poj.org/problem?id=2417 题目: 题意: 求一个最小的x满足a^x==b(mod p),p为质数. 思路: BSGS板子题,推荐一篇好的BSGS和扩展BSGS的讲解博客:http://blog.miskcoo.com/2015/05/discrete-logarithm-problem 代码实现如下: #include <set> #include <map> #include <queue> #include <st…

BZOJ 题目整理

bzoj 500题纪念总结一发题目吧,挑几道题整理一下,(方便拖板子) 1039:每条线段与前一条线段之间的长度的比例和夹角不会因平移.旋转.放缩而改变,所以将每条轨迹改为比例和夹角的序列,复制一份翻转后的序列,直接上AC自动机即可.注意特判 1125:hash+splay 1183:digit-product只可能是2,3,5,7的积,枚举digit-product进行dp即可 1301:每个点和每个边只能被删除一次,随便搞 1313:上下界最大流 1471:考虑容斥,枚举两条路径相交的位置…

noip考点整理（应该不是很完整……）

部分来自百度百科.其他的博客一.必须会的 1.暴力: DFS.BFS.灌水法搜索.回溯搜索.记忆化搜索.启发式搜索.最优性剪枝.可行性剪枝 2.贪心 3.模拟 4.骗分二.基础算法 1.图论:SPFA.Floyd.Dijkstra.Tarjian.topo排序.Prim.Kruskal 欧拉(回)路.哈密顿回路 2.树:并查集.堆.线段树/树状数组.LCA 3.分治:二分查找.二分答案.求逆序对 4.数论:GCD.BSGS.扩展欧几里得求同余方程.Catalan数.快速幂.快速乘法.差分约束…

2019.2-2019.3 TO-DO LIST

DP P2723 丑数 Humble Numbers(完成时间:2019.3.1) P2725 邮票 Stamps(完成时间:2019.3.1) P1021 邮票面值设计(完成时间:2019.3.1) P1070 道路游戏(完成时间:2019.3.2) P2558 [AHOI2002]网络传输(完成时间:2019.3.2) blog2(完成时间:2019.3.2) P2831 愤怒的小鸟(完成时间:2019.3.2) P3160 [CQOI2012]局部极小值(完成时间:2019.3.3) P1…

BZOJ_2242_[SDOI2011]计算器_快速幂+扩展GCD+BSGS

BZOJ_2242_[SDOI2011]计算器_快速幂+扩展GCD+BSGS 题意: 你被要求设计一个计算器完成以下三项任务: 1.给定y,z,p,计算Y^Z Mod P 的值: 2.给定y,z,p,计算满足xy≡ Z ( mod P )的最小非负整数: 3.给定y,z,p,计算满足Y^x ≡ Z ( mod P)的最小非负整数. 分析: 各种板子题代码: // luogu-judger-enable-o2 // luogu-judger-enable-o2 #include <std…

BSGS&扩展BSGS

BSGS 给定$a,b,p$,求$x$使得$a^x\equiv b \pmod p$,或者说明不存在$x$ 只能求$\gcd(a,p)=1$的情况有一个结论:如果有解则必然存在$x\in\left\{0\ldots p-1\right\}$的解设$q=\lceil\sqrt p\rceil,x=cq-d$ \[a^{cq-d}\equiv b\pmod p\] \[a^{cq}\equiv b\times a^d\pmod p\] 先枚举\(d\in\left\{…

BSGS算法及扩展

BSGS算法 $Baby Step Giant Step$算法,即大步小步算法,缩写为$BSGS$ 拔山盖世算法它是用来解决这样一类问题 $y^x = z (mod\ p)$,给定$y,z,p>=1$求解$x$ 普通的$BSGS$只能用来解决$gcd(y,p)=1$的情况设$x=a*m+b, m=\lceil \sqrt p \rceil, a\in[0,m), b\in[0,m)$ 那么$y^{a*m}=z*y^{-b} (mod\ p)$ 怎么求解,为…

BSGS算法及其扩展

bsgs算法: 我们在逆元里曾经讲到过如何用殴几里得求一个同余方程的整数解.而$bsgs$就是用来求一个指数同余方程的最小整数解的:也就是对于$a^x\equiv b \mod p$ 我们可以用$bsgs$在$O(\sqrt n)$ 的复杂度内求出关于$x$的最小正整数解.(前提是$p$为质数) $a^x\equiv b \mod p$ 我们可以知道如果我们的模数p是一个质数,我们将同余式的右边以逆元的形式乘到左边来,根据殴拉定理(因为p是质数,所以a,p互质)则我们…

POJ 3243 Clever Y 扩展BSGS

http://poj.org/problem?id=3243 这道题的输入数据输入后需要将a和b都%p https://blog.csdn.net/zzkksunboy/article/details/73162229 在大约sqrt( p )的复杂度求出 ( a^x ) % p = b % p中的x 扩展bsgs增加了对p不是素数的情况的处理. 扩展bsgs在处理过a,b,p之后进行bsgs的时候x处理不到num以下的部分,这部分在处理a,b,p的时候处理过了(b=1输出num)所以不用考虑.…

bzoj 3283 扩展BSGS + 快速阶乘

T2 扩展BSGS T3 快速阶乘给定整数n,质数p和正整数c,求整数s和b,满足n! / pb = s mod pc 考虑每次取出floor(n/p)个p因子,然后将问题转化为子问题. /************************************************************** Problem: 3283 User: idy002 Language: C++ Result: Accepted Time:1704 ms Memory:12380 kb ***…

【数论】【快速幂】【扩展欧几里得】【BSGS算法】bzoj2242 [SDOI2011]计算器

说是BSGS……但是跟前面那题的扩展BSGS其实是一样的……因为模数虽然是质数,但是其可能可以整除a!!所以这两者其实是一样的…… 第一二种操作不赘述. #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; typedef long long ll; ll Quick_Pow(ll a,ll p,ll MOD){ if(!p){…

【bzoj2242】: [SDOI2011]计算器数论-快速幂-扩展欧几里得-BSGS

[bzoj2242]: [SDOI2011]计算器 1.快速幂 2.扩展欧几里得(费马小定理) 3.BSGS /* http://www.cnblogs.com/karl07/ */ #include <cstdlib> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <map> #include <algorithm> using namespace st…

bzoj 2242: [SDOI2011]计算器【扩展欧几里得+快速幂+BSGS】

第一问快速幂板子第二问把式子转化为$ xy\equiv Z(mod P)\rightarrow xy+bP=z $,然后扩展欧几里得第三问BSGS板子 #include<iostream> #include<cstdio> #include<map> #include<cmath> using namespace std; long long T,K,y,z,p; map<long long,long long>mp; long long…

poj 3243 Clever Y && 1467: Pku3243 clever Y【扩展BSGS】

扩展BSGS的板子对于gcd(a,p)>1的情况即扩展BSGS 把式子变成等式的形式: $ a^x+yp=b $ 设 $ g=gcd(a,p) $ 那么两边同时除以g就会变成: $ \frac{a}{g} a^{x-1}+y\frac{p}{g}=\frac{b}{g} $ 如此循环到ap互质,然后正常BSGS求即可最后答案加上循环次数,即当前的x是经过几次减一得到的注意有很多关于0和1的特判以及这道题在bzoj上是可以用map的,但是poj上只能用hash map版: #…

bzoj 2480——扩展BSGS

题意给定 $a,b$ 和模数 $p$,求整数 $x$ 满足 $a^x \equiv b(mod \ p)$,不保证 $a,p$ 互质. (好像是权限题,可见洛谷P4195 分析之前讲过,可以通过设置 $x = km - r$ 而非 $x = km + r$ 避免求逆元,但是需要逆元存在,$a, p$ 互质的条件保证了这一点. 如果 $a, p$ 不互质怎么办呢? 我们想办法让他们变得互质. 具体地,设 $d_1 = gcd(a, p)$,如果 $d_1 \nmid b$,则原方程无解.否则…

浅谈BSGS(大步小步)及其扩展

用途: 一般用来求$a^x\equiv b\,\,(mod\,p)$的最小正整数解,其中gcd(a,p)=1 设$u=\lceil sqrt(p)\rceil$,则式子可以转化为$a^{iu-j}\equiv b\,\,(mod\,p)$,其中$i\in[1,u],j\in[0,u)$ 于是$a^{iu}\equiv a^jb\,\,(mod\,p)$,我们就可以枚举j,存到map中,再枚举i判重就行了不过当存在不同的j使$a^jb\,mod\,p$相同时,我们记录较大…

扩展BSGS求解离散对数问题

扩展BSGS用于求解axΞb mod(n) 同余方程中gcd(a,n)≠1的情况基本思路,将原方程转化为a与n互质的情况后再套用普通的BSGS求解即可 const int maxint=((1<<30)-1)*2+1; struct Hashmap{ static const int Ha=999917,maxe=46340; int E,lnk[Ha],son[maxe+5],nxt[maxe+5],w[maxe+5]; int top,stk[maxe+5]; …

BSGS算法_Baby steps giant steps算法（无扩展）详解

Baby Steps-Varsity Giant Step-Astronauts(May'n・椎名慶治) 阅读时可以听听这两首歌,加深对这个算法的理解.(Baby steps少女时代翻唱过,这个原唱反而不是很有名……Giant Step就比较碉,是一个假面骑士片的插曲,由超碉的May'n和一个人建立的临时组合唱的,怕不怕) 这个主要是用来解决这个题: A^x=B(mod C)(C是质数),都是整数,已知A.B.C求x. 我在网上看了好多介绍,觉得他们写得都不够碉,我看不懂…于是我也来写一发. 先…

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