RhoPollard Rho是一个著名的大数质因数分解算法,它的实现基于一个神奇的算法:MillerRabinMillerRabin素数测试. 操作流程 首先,我们先用MillerRabinMillerRabin判断当前数xx是否为质数,若是,则可直接统计信息并退出函数 然后是各种证明及优化,我觉得不大实用,这个板子是我改了很多遍了,也过了很多题的板子.用着很舒服,无论卡常,不卡常,速度相差不大,也可以加read. #include <bits/stdc++.h> using namespac…

ACM常用模板合集 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; ll pr; ll pmod(ll a, ll b, ll p) { return (a * b - (ll)((long double)a / p * b) * p + p) % p; } //普通的快速乘会T ll gmod(ll a, ll b, ll p) { ll res = 1; while (b) { if (b &…

有一类问题,要求我们将一个正整数x,分解为两个非平凡因子(平凡因子为1与x)的乘积x=ab. 显然我们需要先检测x是否为素数(如果是素数将无解),可以使用Miller-Rabin算法来进行测试. Pollard Rho是一个非常玄学的方式,用于在O(n^1/4)的期望时间复杂度内计算合数n的某个非平凡因子.事实上算法导论给出的是O(√p),p是n的某个最小因子,满足p与n/p互质.但是这些都是期望,未必符合实际.但事实上Pollard Rho算法在实际环境中运行的相当不错. Pollard Rh…

使用Fermat小定理(Fermat's little theorem)的原理进行测试,不满足 \(2^{n-1}\;\mod\;n\;=\;1\) 的n一定不是质数:如果满足的话则多半是质数,满足上式(通过2为底的Fermat小定理测试)且是合数的,被称为"伪质数"(pseudoprime number),一个简单的伪质数是341.一个合数可能在a=2时通过了测试,但a=3时的计算结果却排除了素数的可能.于是,人们扩展了伪素数的定义,称满足 \(a^{n-1}\;\mod\;n\;=…

P4718 [模板]Pollard-Rho算法 题目描述 MillerRabin算法是一种高效的质数判断方法.虽然是一种不确定的质数判断法,但是在选择多种底数的情况下,正确率是可以接受的.PollardRho是一个非常玄学的方式,用于在O(n1/4)的期望时间复杂度内计算合数n的某个非平凡因子.事实上算法导论给出的是O(p),p是n的某个最小因子,满足pp与n/pn/p互质.但是这些都是期望,未必符合实际.但事实上PollardRho算法在实际环境中运行的相当不错.这里我们要写一个程序,对于每个…

前言 \(Pollard\ Rho\)是一个著名的大数质因数分解算法,它的实现基于一个神奇的算法:\(MillerRabin\)素数测试(关于\(MillerRabin\),可以参考这篇博客:初学MillerRabin素数测试). 期望下,\(Pollard\ Rho\)算法可以达到极快的复杂度. 核心思想 在\(ZJOI2019Day1\)讲课期间,它是被\(CQZ\)神仙作为随机算法内的一部分来进行介绍的. 由此可见,其核心思想便是随机二字. 操作流程 首先,我们先用\(MillerRabi…

Pollard Rho介绍 Pollard Rho算法是Pollard[1]在1975年[2]发明的一种将大整数因数分解的算法 其中Pollard来源于发明者Pollard的姓,Rho则来自内部伪随机算法固有的循环 Pollard Rho算法在其他因数分解算法[3]中不算太出众,但其空间复杂度Θ(1)的优势和好打的代码使得OIer更倾向于使用Pollard Rho算法 毕竟试除法太慢了,谁没事打Pollard Rho不打试除法 Pollard Rho原理 生日悖论 如果一年只有365天(不计算闰…

一些前置知识可以看一下我的联赛前数学知识 如何判断一个数是否为质数 方法一:试除法 扫描\(2\sim \sqrt{n}\)之间的所有整数,依次检查它们能否整除\(n\),若都不能整除,则\(n\)是质数,否则\(n\)是合数. 代码 bool is_prime(int n){ if(n<2) return 0; int m=sqrt(n); for(int i=2;i<=m;i++){ if(n%i==0) return 0; } return 1; } 方法二.线性筛 用 \(O(n)\)…

BZOJ_3667_Rabin-Miller算法_Mille_Rabin+Pollard rho Description Input 第一行:CAS,代表数据组数(不大于350),以下CAS行,每行一个数字,保证在64位长整形范围内,并且没有负数.你需要对于每个数字:第一,检验是否是质数,是质数就输出Prime 第二,如果不是质数,输出它最大的质因子是哪个. Output 第一行CAS(CAS<=350,代表测试数据的组数) 以下CAS行:每行一个数字,保证是在64位长整形范围内的正数. 对于每…

\(\text{update 2019.8.18}\) 由于本人将大部分精力花在了cnblogs上,而不是洛谷博客,评论区提出的一些问题直到今天才解决. 下面给出的Pollard Rho函数已给出散点图.关于\(Millar Robin\)算法的时间复杂度在我的博客应该有所备注.由于本人不擅长时间复杂度分析,如果对于时间复杂度有任何疑问,欢迎在下方指出. 1.1 问题的引入 给定一正整数\(N \in \mathbb{N}^*\),试快速找到它的一个因数. 很久很久以前,我们曾学过试除法来解决这…