[题解]歌唱王国(概率生成函数+KMP)+伦讲的求方差 生成函数的本质是什么呀!为什么和It-st一样神 设\(f_i\)表示填了\(i\)个时候停下来的概率,\(g_i\)是填了\(i\)个的时候不停下的来的概率,规定\(f_0=g_0=1\) 两个生成函数是 \[ G(x)=\sum g(i)x^i \\ F(x)=\sum f(i)x^i \] 可以得到一些关系: 在后面随意加上一个字符 \[ xG(x)+1=F(x)+G(x) \] 直接强行接上原串: \[ x^LG(x)(\dfrac…

传送门 orz ymd 考虑构造生成函数:设\(F(x) = \sum\limits_{i=0}^\infty f_ix^i\),其中\(f_i\)表示答案为\(i\)的概率:又设\(G(x) = \sum\limits_{i=0}^\infty g_ix^i\),其中\(g_i\)表示经过了\(i\)步之后还没有结束的概率.那么答案显然是\(F'(1)\). 考虑在还没有结束的序列之后加入一个字符,那么有可能结束也有可能没有结束,即\(F(x) + G(x) = xG(x) + 1\). 两边…

题面 传送门 给定一个长度为\(L\)的序列\(A\).然后每次掷一个标有\(1\)到\(m\)的公平骰子并将其上的数字加入到初始为空的序列\(B\)的末尾,如果序列B中已经出现了给定序列\(A\),即\(A\)是\(B\)的子串,则停止, 求序列\(B\)的期望长度.\(L ≤ 10^5\) 题解 不知道概率生成函数是什么的可以看看这篇文章,题解也在里面了 //minamoto #include<bits/stdc++.h> #define R register #define fp(i,a…

洛谷题面传送门 PGF 入门好题. 首先介绍一下 PGF 的基本概念.对于随机变量 \(X\),满足 \(X\) 的取值总是非负整数,我们即 \(P(v)\) 表示 \(X=v\) 的概率,那么我们定义 \(X\) 的概率生成函数为 \(F(x)=\sum\limits_{n\ge 0}P(n)x^n\).较一般的生成函数有所不同的是,对于概率生成函数 \(F(1)=1\) 必然成立,因为 \(X\) 取遍所有值的概率之和为 \(1\).此外,\(X\) 的期望 \(E(X)\) 也可表示为 \…

传送门 这题\(\mathrm{YMD}\)去年就讲了,然而我今年才做(捂脸) 考虑生成函数,设\(f_i\)表示最终串长为\(i\)的概率,其概率生成函数为\(F(x)=\sum f_ix^i\),设\(g_i\)表示做到长度为\(i\)没结束的概率,其概率生成函数为\(G(x)=\sum g_ix^i\),那我们要求的就是\(F'(1)\) 考虑他们之间的关系,首先如果在一个没有结束的串后接一个字符,那么这个串可能结束也可能没结束,可以得到\(F(x)+G(x)=xG(x)+1\),两边对\…

[BZOJ1152]歌唱王国(生成函数,KMP) 题面 BZOJ 洛谷 题解 根据\(YMD\)论文来的QwQ. 首先大家都知道普通型生成函数是\(\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i\),类似的定义概率生成函数\(\displaystyle F(x)=\sum_{i=0}^\infty P(X=i)x^i\).其中\(P(X=i)\)表示\(X\)这个随机变量为\(i\)的概率. 那么我们可以知道几个结论:\(\displaystyle F(1)=\s…

[CTSC2006]歌唱王国 Tags:题解 题意 链接:在空串后不断随机添加字符,直到出现串\(S_i\)为止.求最终串的期望长度.\(\sum |S_i|\le 5*10^6\) 题解 以下内容来自\(YMD\)的2018年集训队论文 很奇怪的生成函数题: 令\(f[i]\)表示串最终长度为\(i\)的概率,\(g[i]\)表示到达长度\(i\)还没有结束的概率.分别对应生成函数\(F(x),G(x)\).最后要求的就是\(F'(1)\)(求导,相当于每个概率都乘上了指数也就是长度,变成了期…

[CTSC2006]歌唱王国Singleland Time Limit: 30 Sec Memory Limit: 162 MB Description 在歌唱王国,所有人的名字都是一个非空的仅包含整数1~n的字符串.王国里生活着一大群咕噜兵,他们靠不停的 歌唱首领--牛人酋长们的名字来获取力量.咕噜兵每一次歌唱过程是这样的:首先,他从整数生成器那儿获得一 个数字,然后花一个时间单位将此数字唱出来,如果他发现某个牛人酋长的名字已经被歌唱出来(即此名字是歌唱 序列的一个连续子串),那么这次歌唱过程…

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4548 题目大意 \(t\)次询问,给出一个长度为\(m\)的串\(S\)和一个空串\(T\),每次在\(T\)后面随机加入\(1\sim n\)的字符,直到\(T\)中出现\(S\)为止,求期望次数. \(1\leq n\leq 10^5,t\leq 50,1\leq m\leq 10^5\) 解题思路 对于一个随机的数字\(X\),它的概率生成函数是一个形如 \[F(x)=\sum_{i=0}^\infty…

题目传送门 Desctiption 见题面. Solution 人类智慧... 考虑这样一个赌博游戏,现在有一个猴子,它随机从 \(1\sim n\) 中选一个打出来.现在有若干个赌徒,他们一开始都有 \(\$1\),现在有一个字符串 \(S\),赌徒在第一次押猴子会打 \(S_1\),如果赢了就回收 \(\$ n\) ,如果输了就可以滚他的蛋了.如果赌徒赢了就继续押猴子会打 \(S_2\),如果赢了就回收 \(\$ n^2\) ,否则就可以滚蛋了.以此类推,并且猴子每打一个字都会新加进来一个赌…